- ベストアンサー
大学の微分積分学の連続性の問題で困っています
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
「f:[a,b]→ R が c∈[a,b] で連続」 これをε-δ論法で表現すると、 ∀ε＞0 ∃δ＞0 ∀x[|x-c|＜δ⇒|f(x)-f(c)|＜ε] -----(1) 同様に、「lim[n→∞]f(A(n))=f(c)」は ∀ε＞0 ∃n0 ∀n[n＞n0⇒|f(A(n))-f(c)|＜ε] -----(2) 「(1)⇒(2)」を背理法で証明するには、(2)の否定が(1)と矛盾することを示せばいいわけです。 (2)の否定は、 ∀ε＞0 ∀n0 ∃n＞n0 |f(A(n))-f(c)|≧ε これは、どんなn0に対しても、n＞n0、|f(A(n))-f(c)|≧εとなるnが存在することを意味します。 つまり、任意のε＞0に対し、|f(A(n))-f(c)|≧εとなるA(n)が無限に存在するので、 数列B(n)を次のように定義することができます。 B(n)=[n番目に|f(A(k))-f(c)|≧εとなるA(k)] この数列B(n)に沿ってxをcに近づけると、 |f(x)-f(c)|≧ε なので、(1)と矛盾することになります。 「(2)⇒(1)」の証明も同様に、 (1)の否定から、cに収束し、|f(B(n))-f(c)|≧εとなる数列B(n)を定義することができます。 数列B(n)をどのように定義するかがこの証明法の要です。
関連するQ&A
- 微分積分概論 実数の連続性公理を用いる問題です。
今日の１７時までに提出のレポートの問題なのですが、 この問題だけ解けません。。。どなたか、どうか助けて下さい。 数列{ａ_n}n∈Ｎ,{ｂ_n}n∈Ｎが lim［n→∞］ａ_n=a,lim［n→∞］ｂ_n=bをみたせば、 lim［n→∞］(ａ_1ｂ_n+ａ_2・ｂ_n-1+…+ａ_n・ｂ_1)/n=ab を満たすことを示せ（ε-Ｎ 論法をもちいることもある）。 ヒント：ａ=の場合に帰着できることをまず示すこと、 また収束列が有限界であることも活用すること。 どうかどうかよろしくお願いします。。。
- 締切済み
- 数学・算数
- 微分積分の問題です
微分積分の問題です １．２．の解答をお願いします。 １．α>0,β>0,α+β=1とする。a_0,a_1を勝手に選んだ数とする。a_n+2=a_n+a_n+1（ｎ=0,1,2,．．．）によって数列｛a_n｝を定める。 (1)b_n=a_n+1-a_n（n=0,1,2,．．．）とおいて、数列｛b_n｝の漸化式を求めよ。これから数列｛b_n｝を求めよ。 (2)a_n=a_0+b_0+b_1+…+b_n-1によって、a_nを求めよ。 (3)lim_n→∞(a_1)を求めよ。 ２．0<a_1<b_1とする。a_n+1=√(a_n・a_n),b_n+1=a_n+b_n/2(n=1,2,．．．)によって、数列｛a_n｝,｛b_n｝を定める。 (1)0<a_1<a_2<．．．<a_n<a_n+1<．．．<b_n+1<b_n<b_2<b_1を示せ。 (2)lim_n→∞(a_ｎ),lim_n→∞(b_ｎ)が存在することを示せ。 (3)lim_n→∞(b_n)=lim_n→∞(b_n)を示せ
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 有界な単調数列の証明（再掲）
こちらの皆様のご指導のもと、以下の単調数列の証明問題を解いてみました。 証明が変なところがあれば、ご指導よろしくお願いします。 【問題】 数列{ 1-(1/n) }/{ 1+(1/n} }[n=1,2,3,...]は 有界な単調数列であるか？ 理由とともに、単調な場合には、 単調増加であるか単調減少であるかについても求めよ。 【証明】 まず、有界かどうかについて証明する。 n→∞とすると、 lim[n→∞] { 1-(1/n) }/{ 1+(1/n} } =lim[n→∞] (n-1+2-1)/(n+1) =lim[n→∞] 1-2/(n+1)=1 よって、有界。 つぎに単調増加について証明する。 (n-1)/(n+1) = (n+1-2)/(n+1) = 1-2/(n+1)と変形させることにより、 1より小さいことがわかる。 また、2/(n+1)は単減少であることより、-2/(n+1)は単調増加。 よって、1-2/(n+1)も単調増加であることが証明される。 ∴数列{ 1-(1/n) }/{ 1+(1/n} }[n=1,2,3,...]は、 有界な単調増加である。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- √（1+√（1+√（1+√（1+...
数列{a_n}をa_(n+1)=√(1+(a_n)) として、初項1とするとき、lim{n→∞}a_nは収束するかという問題なんですが、a_n<a_(n+1)（単調増加）というのはわかるのですが、有界であることの説明がまったく思いつかず、、、 a_n<b_nといったような数列b_nを考えてきょくげんをとろうかなと思ったんですけど思いつかず、、、 ヒントでもいいのでよろしくお願いします
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数列の基本的な問題なのですが…
こんにちわ。 自分は数学が本当に苦手で、とある本に書かれたこの問題（答えがないんです）ができないのでとき方と回答を教えて欲しいです… 次の数列、A(n)の極限を、単調減少数列か単調増加数列か調べて、求めろ。 A(1)=3,A(n+1)=2√A(n) まず、単調減少数列という示し方がわからないです…すみません。。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 単調数列の証明問題です
自分なりに、以下の単調数列の証明問題を解いてみました。 間違いがあれば、ご指摘いただけるとありがたいです。 よろしくお願いします。 【問題】 数列{(n-1)/(n+1)}{n=1,2,3,...}は有界な単調数列であるか？ 理由とともに、単調な場合には、単調増加であるか単調減少であるか についても求めよ。 【証明】 まず、単調増加であるかについて証明する。 (n-1)/(n+1) = {(n+1)-2}/(n+1) = 1-{2/(n+1)}と変形させる。 これにより、1より小さいことがわかる。 また、2/(n+1)は単調減少であるため、-2/(n+1)は単調増加である。 よって、1-{2/(n+1)}も単調増加であることが証明される。 次に有界であるかについて証明する。 n→∞とするとき、{1-(1/n)}/{1+(1/n)}→1となる。 よって、1-(n-1)/(n+1) = 2/n+1 > 0とあらわすことができる。 ゆえに、数列{(n-1)/(n+1)}{n=1,2,3,...}は有界な単調数列である。 証明終わり。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- Σ[n=0..∞](-1)^n5^n/(2n)!の和は?
Σ[n=0..∞](-1)^n5^n/(2n)!の収束・発散を判定し,収束ならその和を求めよ。 という問題です。 これは交項級数なので数列{5^n/(2n)!}が単調減少且つlim[n→∞]5^n/(2n)!=0より (∵比を採ると5^(n+1)/(2(n+1))!/5^n/(2n)!=2/((2n+2)(2n+1))で単調減少且つ極限値が0) Σ[n=0..∞](-1)^n5^n/(2n)!は収束。 となるのかとと思いますが和はどのように求めればいいのかわかりません。 どのようにして求めれるのでしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数列の問題…教えて下さい
以下の問題ですが、どう手をつけていいのかわからずに困っております。どのような方針ですすめればよいのでしょうか？ヒントを下さいませ。 数列{a_n}がa_1 =3, a_{n+1}=√{a_n +2} (n=1,2,…) により与えられるとき以下の問いに答えよ。 (1)すべての番号n=1,2,…に対し,a_n > 2 が成り立つことを示せ. (2){a_n}が単調減少数列であることを示せ. (3){a_n}が収束することを示し,その極限値を求めよ.
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数列が収束するかの証明問題
数列{a_n}{b_n}を写真のように定める。 （a_n,b_nはすべて正数とする） a_n,b_nが同じ値に収束することをしめしなさいという問題なのですが、 流れとしては、 1) a_n=b_nならば代入すれば、a_(n+1)=b_(n+1) 数学的帰納法（？）で数列{a_n}{b_n}は同じ値に収束する 2) a_n>b_nとして、 b_n=√(b_n*b_n)<√(a_n*b_n)=b_(n+1) a_n=2(a_n)^2/2(a_n)>2a_n*b_n/a_(n)+b_n=a_(n+1) (ここは計算すると、不等号が成り立ちますが、省略します。） またa_(n+1)<b_(n+1) (0<(a_n-b_n)^2から計算すれば出ますので省略します） これをまとめてb_n<a_(n+1)<b_(n+1)<a_nとなる 3) 次にa_n<b_nのときは 上記と同じような計算で b_(n+1)<b_n a(n+1)>a_n a_(n+1)<b_(n+1)がえられる。 2)3)の結果を合わせて a_n>b_nの場合は、a_(n+1)<b_(n+1)に、 a_n<b_nの場合はa_n<a_(n+1)<b_(n+1)<b_n…(1)となる。 nが2以上で(1)が無限に繰り返されていき、a_2<a_3<a_4<a_5<...<b_5<b_4<b_3<b_2が成立するため{a_n}{b_n}はともに有界であり、n=2以上で {a_n}は単調増加、{b_n}は単調減少であるとわかる。よってともに収束する。 数列{a_n}の収束値をA、数列{b_n}の収束値をBとして 与式に代入するとA=Bがえられ、数列{a_n}b_n}は同じ値に収束することがわかる。 といった感じ大まかにはあってますか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
親切な回答ありがとうございます。 とても参考になりました。m(_ _)m