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数列の問題…教えて下さい

以下の問題ですが、どう手をつけていいのかわからずに困っております。どのような方針ですすめればよいのでしょうか?ヒントを下さいませ。 数列{a_n}がa_1 =3, a_{n+1}=√{a_n +2} (n=1,2,…) により与えられるとき以下の問いに答えよ。 (1)すべての番号n=1,2,…に対し,a_n > 2 が成り立つことを示せ. (2){a_n}が単調減少数列であることを示せ. (3){a_n}が収束することを示し,その極限値を求めよ.

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  • 回答No.1

ヒント (1)数学的帰納法 (2)a_{n+1}-a_n>0を示す でいいと思います。(3)は(1),(2)より明らかなんですけど、形式的に極限値を出す方法があるのかな?まあそのへんは他の方のを参考にして下さい。

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その他の回答 (3)

  • 回答No.4

繰り返しのようになりますが・・・ (1)は、No.1さんのおっしゃるとおり、数学的帰納法が分かりやすいでしょうね。 (2)については、No.1さんやNo.2さんのおっしゃるとおりですが、この数列はすべての項が正の数で、ルートを含んだ数列ですから、各項の2乗を考えると、a_{n+1} - a_n > 0 を示しやすいのでは? (3)については、まず(1),(2)よりこの数列は単調減少で有界な数列ですから、収束する訳ですよね。そして、問題はその極限値ですが、これはNo.2さんのおっしゃるように、存在すると判ればそれを例えばXと置いて、式を作って解けば求まります。 なお、ご参考までに、蛇足を述べると、 (1) この数列は、一般に、初項が-2より大きいどんな数の場合でも、2に収束します。(初項a_1 が、-2 < a_1 < 2 のときは、単調増加しながら2に収束します。) (2) 漸化式が一般に、     a_{n+1} = √{a_n +k} (n=1,2,…) のとき、k ≧ 0 のときは、この数列は収束するようです。(極限値は簡単に求まります。) (3) さらに一般に、漸化式が例えば、     a_{n+1} = √{2×a_n +3} (n=1,2,…) などのような場合でも、この数列は収束するようです。

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質問者からのお礼

みなさんどうもありがとうございました。無事、解決いたしました。

  • 回答No.3
  • adinat
  • ベストアンサー率64% (269/414)

ほとんどヒントというより答えになってしまいますが、考え方を。帰納法に乗せるのがきちんとした解答のために必要ですが、a_{n+1}=√{a_n +2}によって数列の次の番号を決めているわけです。もしいまa_nが2より大きければ、a_n+2は4よりも大きく、その√は2よりも大きくなっていますよね。 単調減少を言うには、♯1さんのように一個前のを引いてみてそれが負になることを言えばよいです。 そして(3)ですが、a_1=3から始まって、2よりも大きい数列がだんだん減っていくわけですから、かならず何かに収束します。それをαとしましょう。a_{n+1}→α、a_n→αというわけです。そうすると漸化式の両辺でn→∞としてみると、α=√{α+2}となるので、極限を求めることができます。

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  • 回答No.2

すみません。訂正です。 × (2)a_{n+1}-a_n>0 ○ (2)a_{n+1}-a_n<0

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