数列の基本的な問題なのですが…

質問

こんにちわ。
自分は数学が本当に苦手で、とある本に書かれたこの問題（答えがないんです）ができないのでとき方と回答を教えて欲しいです…

次の数列、A(n)の極限を、単調減少数列か単調増加数列か調べて、求めろ。

A(1)=3,A(n+1)=2√A(n)

まず、単調減少数列という示し方がわからないです…すみません。。

回答No.3

kabaokaba · ベストアンサー

この数列は上に有界で，狭義単調増加です
全部書くと削除対称でしょうから
要点だけ

補題：任意のk (k=2,3,...)に対して
3<A(k)<4

これは数学的帰納法で処理しましょう

つぎに，単調増加性ですが
これは引き算ではなく割り算で処理するのが
この場合は簡単です
＃もともとの漸化式が掛け算なので
＃この方が楽だろうと見当をつけます

補題をつかって
A(k+1)/A(k) = 2/\sqrt{A(k)} > 2/\sqrt{3} >1
A(k)>0 なので
A(k+1) > A(k)
よって，
数列A(n)は上に有界な狭義単調増加な数列

＃一般に隣接2項間の比が
＃1未満であれば狭義単調減少
＃1以下であれば広義単調減少
＃1より大きければ狭義単調増加
＃1以上であれば広義単調増加

したがって，極限が存在する
その極限をAとすると

A=lim A(n+1) = lim 2\sqrt{A(n)}
=2\sqrt{A}
したがって，
A^2=4A また A>0なので，極限もでます．

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漸化式 A(n+1)=f(A(n)) の極限の問題は
関数y=f(x)とy=xのグラフを書いて，
A(1), A(2), A(3),...の様子を観察すると
極限が見えてくることが多いです
この問題でも，グラフを書いて観察すれば
上の「補題」(3<A(k)<4)が見えてきます

お礼

分かりやすかったです！
ありがとうございました

回答No.2

endlessriver

上に有界な単調増加数列は収束する。を使います。
帰納法で0<A(n)<4を示します。

A(n+1)^2-A(n)^2を評価して単調増加であることを示します。

回答No.1

Tacosan

この数列自体は単調増加のような気がしますが, それはともかく:
(狭義) 単調減少であることを示すには, もちろん A(n) - A(n+1) > 0 を示せばいい (広義の単調減少なら > じゃなくって ≧) ので, 単純には A(n) を n の式で書いてしまえばいいということになります. この問題なら可能.
この問題に関していえば, そんなことをせずとも y = 2√x のグラフを書いて, A(1) と A(2) の関係を見れば十分ですが.