ルベーグ測度,直積測度の零集合

質問

I,Jをユークリッド空間R^m,R^nの部分ルベーグ有限測度空間とします。
φ(x,y)（x∈I,y∈J）を論理式とします。

「φ(x,y) 　a.e ((x,y)∈I×J)」　ならば

「「φ(x,y) 　a.e (x∈I) 」　a.e (y∈J)」

は成り立ちますか。また、成り立たない場合はどのような反例がありますか。
但し、I×JはIとJの直積測度空間です。

全くわからないので、よろしくお願いします。

回答No.1

jcpmutura

I⊂R^m上の測度をμ1
J⊂R^n上の測度をμ2
I×J⊂R^{m+n}上の測度をμ3
A(x,y) (x∈I,y∈J)を論理式
A(x,y)の否定を
-A(x,y)
とする

(定義1)
A(x,y)でないI×Jの要素(x,y)の集合の測度が0
μ3({(x,y)∈I×J|-A(x,y)})=0
の時
A(x,y) a.e ((x,y)∈I×J)
という
(定義2)
A(x,y)でないIの要素xの集合の測度が0
μ1({x∈I|-A(x,y)})=0
の時
A(x,y) a.e (x∈I)
といい
{A(x,y) a.e (x∈I)}でないJの要素yの集合の測度が0
μ2{y∈J|μ1({x∈I|-A(x,y)})>0}=0
の時
{A(x,y) a.e (x∈I)} a.e (y∈I)
という

A(x,y) a.e ((x,y)∈I×J)
とすると(定義1)から
μ3{(x,y)∈I×J|-A(x,y)}=0
だから
{(x,y)∈I×J|-A(x,y)}⊂∪_{k=1～∞}(V_k×W_k)⊂I×J
k=1～∞に対して
μ3(V_k×W_k)=μ1(V_k)μ2(W_k)=0
μ1(V_k)=0又はμ2(W_k)=0
となる区間組{V_k,W_k}_{k=1～∞}
がある
X0=∪_{μ1(V_k)=0}V_k
Y0=∪_{μ2(W_k)=0}W_k
X1=∪_{μ1(V_k-X0)>0}(V_k-X0)
Y1=∪_{μ2(W_k-Y0)>0}(W_k-Y0)
とすると
μ1(X0)=0
μ2(Y0)=0
となる
k=1～∞に対して
μ3(V_k×W_k)=μ1(V_k-X0)μ2(W_k-Y0)=0
だから
μ1(V_k-X0)=0又はμ2(W_k-Y0)=0
μ1(V_k-X0)=0のとき
μ1(V_k)=0
V_k⊂X0
V_k-X0=φ
μ2(W_k-Y0)=0のとき
μ2(W_k)=0
W_k⊂Y0
W_k-Y0=φ
だから
∪_{k=1～∞}{(V_k-X0)×(W_k-Y0)}=φ
∪_{k=1～∞}{(V_k-X0)×Y0}=∪_{μ1(V_k-X0)>0}(V_k-X0)×Y0=X1×Y0
∪_{k=1～∞}{X0×(W_k-Y0)}=∪_{μ2(W_k-Y0)>0}{X0×(W_k-Y0)}=X0×Y1
だから
∪_{k=1～∞}(V_k×W_k)
=∪_{k=1～∞}{(V_k-X0)∪X0}×{(W_k-Y0)∪Y0}
=∪_{k=1～∞}[{(V_k-X0)×(W_k-Y0)}∪{(V_k-X0)×Y0}∪{X0×(W_k-Y0)}∪(X0×Y0)]
=∪_{k=1～∞}[{(V_k-X0)×Y0}∪{X0×(W_k-Y0)}]∪X0×Y0
=(X0×Y0)∪(X0×Y1)∪(X1×Y0)
だから
{(x,y)∈I×J|-A(x,y)}⊂(X0×Y0)∪(X0×Y1)∪(X1×Y0)

y∈{y∈J|μ1({x∈I|-A(x,y)})>0}
に対して
{x∈I|-A(x,y)}×{y}⊂{(x,y)∈I×J|-A(x,y)}⊂(X0×Y0)∪(X0×Y1)∪(X1×Y0)
{x∈I|-A(x,y)}×{y}⊂(X0×Y0)∪(X0×Y1)∪(X1×Y0)
だから
{x∈I|-A(x,y)}⊂X0∪X1
X0∩X1=φ
だから
{x∈I|-A(x,y)}∩X1=φ
を仮定すると
{x∈I|-A(x,y)}⊂X0
0<μ1({x∈I|-A(x,y)})≦μ1(X0)=0
となって矛盾するから
{x∈I|-A(x,y)}∩X1≠φ
だから
x1∈{x∈I|-A(x,y)}∩X1
となるx1がある
x1∈X1
(x1,y)∈{x∈I|-A(x,y)}×{y}⊂(X0×Y0)∪(X0×Y1)∪(X1×Y0)
(x1,y)∈(X0×Y0)∪(X0×Y1)∪(X1×Y0)
だから
(x1,y)∈X1×Y0
だから
y∈Y0
だから
{y∈J|μ1({x∈I|-A(x,y)})>0}⊂Y0
だから
0≦μ2{y∈J|μ1({x∈I|-A(x,y)})>0}≦μ2(Y0)=0
だから
μ2{y∈J|μ1({x∈I|-A(x,y)})>0}=0
だから(定義2)から
∴
{A(x,y) a.e (x∈I)} a.e (y∈I)