測度の連続性

質問

大学数学、ルベーグ積分の質問です。

他の質問サイトでも質問しましたが、よく分からないため質問します。

以下の問題が分かりません。

R上の関数φ(x)が右連続であるとは、lim[x↓x_0]φ(x)=φ(x_0)の時をいい、

左連続とはlim[x↑x_0]φ(x)=φ(x_0)の時をいう
。

R上の有限測度μによって定まる以下の関数はx＞0で右連続、左連続、連続、不連続のどれになるか？

(1)μ([0,x])

(2)μ([0,x))

(3)μ([-x,x])

(4)μ((-x,x))

(5)μ((-x,x])

よくわかりません。よろしくお願いします。

回答No.2

tmpname

取り敢えず何が分からないのか書いてくれないと、これ以上どうにもならないので、どこまで考えたかとかを書いてください。

回答No.1

tmpname

「R上の有限測度μ」というのが良く分からない。Rは実数体で、ここでは「Rのボレル集合体上の有限測度μ 」って事ですか？以下そういう事として。

前提知識として、
●まず一般に測度は上からも下からも連続である。つまり、
a. 増加列E_1⊂E_2⊂E_3⊂... に対し、μ(∪ E_j) = lim μ(E_j)
b. 減少列E_1⊃E_2⊃E_3⊃... に対し、μ(∩E_j) = lim μ(E_j)
●一方、こちらはまだ出てきてないかも知れないが、一般にfを実数体上の有界、非減少、右側連続関数とすると、μ((a,b]) = f(b) - f(a)で定義するμは、Rのボレル集合体上の有限測度に拡張される（Lebesgue-Stieltjes測度）。

(1)(2)だけ示します。
(1)
x_n ↓ xなる任意の数列x_nに対し、μ(∩[0, x_n]) = lim μ[0, x_n]で、左辺はμ([0,x])であるから、これはμ([0,x])が右連続であることを意味する。
一方、f(x) = 0(x<1), 1(x≧1)なるfは、有界、非減少、右側連続であるので、μ((a,b]) = f(b) - f(a)で定義するμはRのボレル集合体上の有限測度に拡張される。この時 μ([0,1])= 1である（何故か？）一方、0<x<1に対してμ([0,x])=0となってμ([0,x])はx=1で左連続でない。

(2)
同様にx_n↑ xなる任意の数列x_nを考えれば、μ([0,x))は左連続となる。
一方、先程のfに対し、fが定義する測度μは、 μ([0,1)) = 0である（何故か？）一方x>1に対してμ([0,x)) = 1であって （何故か？）μ([0,x))はx=1で右連続でない。

後は一度考えてください。

注：
μは測度だから、A⊂BかつA, B共にμ可測ならμ(A)≦μ(B)であって、よって(1)から(5)全てxに対して非減少。一般に実数値非減少関数の不連続点は高々可算個であるから、(1)から(5)いずれも、高々可算個の点で不連続になっているかもしれないけど、「ほとんど至る所の」点で(1)から(5)まで連続です。