ルベーグ積分の反例を教えてください

質問

Rは実数体とします。B(R)をボレル集合体。
[Prop] (R,B(R),λ)を1次元ルベーグ測度空間,G∈B(R),λ(G)<+∞,そして可測関数f_nをlim[n→∞]f_n=0とする。
この時,lim[n→∞]∫_G f_ndλ=0.

の反例を挙げてください。

回答No.1

tmppassenger · ベストアンサー

[前説] 多分、「Lebesgueの優収束定理」とか「有界収束定理」とかはすでに学習していると思います。そこで、今の問題の反例を考えるには、『lim[n→∞]f[n]=0 は成立するが、{f[n]}はn→∞で有界でない』ようなものを考える必要があります。

[本文]
n≧1に対し、
G = [0,2], f[n](x) = (n^2)x (0≦x<1/n), (n^2) (2/n-x) (1/n≦x<2/n), 0 (2/n≦x≦2) （つまり、f[n](x)は (0,0) (1/n, n) (2/n, 0) (2,0)を順に結ぶ折れ線）とした時、これが反例となっていることを確認せよ。

お礼

どうもありがとうございました。
とても参考になりました。