測度ゼロの集合？

質問

X=Y=[0,1]
B_X=B_Y：[0,1]上のボレル代数
m：ルベーグ測度
n：数え上げ測度(counting measure)
として、測度空間(X, B_X, m)と(Y, B_Y, n)の直積測度空間を考えます。

このとき、PlanetMathの記事
http://planetmath.org/encyclopedia/CounterExampleToTonellisTheorem.html
によりますと、対角線集合
D={(x,y)∈X×Y|x=y}
の直積測度がゼロになるということなのですが、これはなぜでしょうか。測度論がわかる方がおられましたら、教えていただけないでしょうか。
どうぞ宜しくお願いします。

回答No.4

ojisan7

たしかにそうですね。外測度で考えると、対角線集合のｍとｎの直積測度は∞になります。これが正解だろうと思います。これ以外には考えられそうもありません。

ついでですが、E={(x,0)|x∈X}、F={(0,y)|y∈Y}としたときには、(m×n)(E)=1×1=1、(m×n)(F)=0×∞=0となります。
集合としては、どちらも、対角線集合と変わりませんが、測度は全く異なります。異種の測度同士の直積測度の場合、集合を勝手に移動すること、特に回転移動が出来ないということですね。わたしも、もやもやとしたものが晴れて、すっきりしました。

お礼

わざわざ回答してくださいまして、ありがとうございます。
測度って本当に不思議です！
今はまだまだ力不足ですが、いつかバナッハ・タルスキーの定理も理解できたらいいなぁ、って思ってます。

前回のお礼の部分で、カラテオドリの可測性が満たされるという主張は、私の勘違いでした。すみません。。。
もう少し考えてみようと思いますが、この質問はとりあえず締め切って、わからなかったら、また質問してみることにします。
ありがとうございました☆

回答No.3

ojisan7

すみません。タイプミスをしました。

ルベーグ積分論での∞演算の規約、0×∞=0です。

f(x,y)にはX×Y上の単関数が存在しませんから、どうしても、μ(x)ν(x)（xは[0,1]の要素）の和（可算和ではありませんが）を考えざるを得ません。μ(x)ν(x)=0×1ですから、その和は0×∞=0となります。
しかし、この和は可算和でないところが苦しいところです。しかし、考えようによっては、対角線集合は１次元ですから、「その積測度はゼロであってほしい」という感情が強く働きます。

お礼

何度も回答いただきありがとうございます。
投稿してからも、考えたり調べたりしていたのですが、以下のQ&Aが見つかりました。
http://at.yorku.ca/cgi-bin/bbqa?forum=ask_an_analyst_2002;task=show_msg;msg=0191.0001
自分なりに解釈して書いてみますので、もしよろしければ、間違っていないかチェックしていただけないでしょうか。

まずDを可算個の集合たち(D_n), D_n = X_n×Y_n で覆うことを考えますが、外測度が「infを用いて定義されること」と「単調性を満たすこと」から、外測度を測ろうとする場合は、D_n = U_n×U_n の形の“正方形”のみを用いればよい(？)ことがわかります。(Q×Qのようなケースもあるので引用符“”をつけてます)
そこで、Dの可算被覆(D_n), D_n = U_n×U_nを任意にとったとき、可算個の U_n たちが [0,1] を覆っていることになりますので、m([0,1])=1 より、m(U_k)=a>0 となる U_k が存在します。U_k は非可算個の要素を含むので、n(U_k)=∞ です。このとき、Σ[m(U_n)×n(U_n)]≧a×∞=∞ となります。可算被覆(D_n)は任意でしたので、Dの外測度は∞になります。
外測度が無限大なら、カラテオドリの可測性条件は自動的に満たされます(？)ので、Dは可測となり、その測度は∞となります。

何度もすみませんが、宜しくお願いします。m( . . )m

回答No.2

ojisan7

No1です。英訳に惑わされ、つい、安易な回答をしてしまいました。No1は全面的に撤回します。

Fubiniの定理が成立しないことは、数え上げ測度がσ有限ではないからです。集合D={(x,y)∈X×Y|x=y}の直積測度がゼロとなることは、ルベーグ積分論での∞演算の規約、a×∞=0より明らかです。つまり、

μ([0,1])×ν([0,1])=1×∞=0

ということです。

お礼

再度のご回答ありがとうございます。
無限大の計算がわかりません。。。
a×∞は
∞ if a>0
0 if a=0
-∞ if a<0
が一般的だと思っていたのですが、違いましたでしょうか。。。
回答文のように定義してしまいますと、たとえば、「2次元ルベーグ測度空間 R^2 において、集合 [0,1]×R の2次元ルベーグ測度 m2([0,1]×R) は m2([0,1]×R) = m1([0,1])×m1(R) = 1×∞ よりゼロになる」ということになっちゃいませんでしょうか。

回答No.1

ojisan7

考え方の概略は以下のようになるでしょうが、詳しくはご自身で証明して下さい。

一方の累次積分の値が０で他方が１となり一致しません。このことはX,Yとf(x,y)の定義より明らかです。ですからFubiniの定理は成立しません。このことは、X×Y上の単関数が存在しないことを意味します。したがって、X×Yが直積測度空間として完備化されているならば、そのような集合D={(x,y)∈X×Y|x=y}の直積測度はゼロでなければばりません。

お礼

ご回答くださいまして、ありがとうございます。
「X×Y上の単関数が存在しない」というのは「fよりessentiallyに小さい単関数が存在しない」という意味だと解釈して、回答文にございます、
“「Fubiniの定理は成立しません」⇒「X×Y上の単関数が存在しない」”
がどうして導かれるのかがわかりません。定理が成立しないので、定理の仮定の部分で成立していない条件があることはわかるのですが、成立していない条件は、直積測度がσ有限でないことだと思います。
もしよろしければ、上記の“”内の部分につきまして、ご解説いただけないでしょうか。
お手数をおかけしてしまいますが、どうぞ宜しくお願いします。