(再投稿)R^n∋A_1,A_2,…はΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞を満たす.∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kはLebesgue外測度0?

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このQ&Aのポイント
  • この質問は、再投稿されたもので、集合の性質に関するものです。
  • 質問者は、与えられた集合に関してLebesgue可測性を示したいと考えています。
  • しかし、この証明は成り立たないことが指摘されています。
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(再投稿)R^n∋A_1,A_2,…はΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞を満たす.∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kはLebesgue外測度0?

すいません。 http://okwave.jp/qa4327195.html について再投稿です。 A:=∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kと置いて 今,AがLegesgue可測集合である事を示したい訳ですよね。 Lebesgue可測集合とはλをLebesgue外測度とする時, {E;Eはn次元区間塊,E⊂∀S⊂R^n,λ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)}の元の事ですよね。 そこで疑問なのですがλはn次元区間塊全体に対して定義された写像ですよね。なのでλ(S∩E)とλ(S∩E^c)はそれぞれλ(E)+λ(E^c)で(∵E⊂∀S⊂R^n),一応は定義されているのですがλ(S)はSの採りようによってはλ(S)自体が定義されないという状況に陥ってしまいます(∵必ずしもSはn次元区間塊とは限らない)。 するとλ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)という不等式は意味を成さなくなります。 従って,AがLebesgue可測集合である事が示せなくなってしまいます。 Lebesgue可測集合の定義を勘違いしてますでしょうか?

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • kabaokaba
  • ベストアンサー率51% (724/1416)
回答No.1

とりあえず教科書を読む． 定義が分かってなければ何もできない． >Lebesgue可測集合とはλをLebesgue外測度とする時, >{E;Eはn次元区間塊,E⊂∀S⊂R^n,λ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)}の元の事ですよね。 こんなこと本当に書いてある？なんか読み落としているとか 説明の途中の何かだとか，勝手に創作してるとか？ >Lebesgue可測集合の定義を勘違いしてますでしょうか? してる． だって，それだったら「円」ですらルベーク可測じゃなくなる．

HarukaIgaw
質問者

お礼

ありがとうございます。 やっと正確なLebesgue可測集合の定義が分かりました。 λをLebesgue外測度とする。 A⊂∀C (但しCはn次元区間塊),λ(C)≧λ(C∩A)+λ(C∩A^c)の時,集合AをLebesgue可測集合という。 これで∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kはLebesgue測度0が言えますね。

HarukaIgaw
質問者

補足

すいません。また訂正です。 λをLebesgue外測度とする。 A⊂∀C∈R^n,λ(C)≧λ(C∩A)+λ(C∩A^c)の時,集合AをLebesgue可測集合という。 ですよね?

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