R^n∋A_1,A_2,…はΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞を満たす.∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kはLebesgue外測度0?

質問

よろしくお願い致します。

A_1,A_2,…をΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞を満たすR^nの部分集合とせよ。
(ア) ∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kがLebesgue外測度0を持つ事を示せ。
(イ) これはLebesgue測度0を持つか? 持つなら理由を述べよ。

という問題です。

(ア)について
Lebesgue外測度の定義からλ^*(A_k)=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}…(1)
(但しI_iはn次元区間塊[a_1,b_1]×[a_2,b_2]×…×[a_n,b_n])と書け,
題意よりΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞なのでλ^*(A_k)<∞と分かる。
それでλ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}
から先に進めません。
λ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=Σ[n=1..∞]λ(∪[k=n..∞]A_k)なんて変形もできませんよね。
どのすれば=0にたどり着けますでしょうか?

(イ)について
答えは多分Yesだと思います。
Lebesgue可測集合はL:={E∈R^n;E⊂Uでinf{λ^*(U＼E);Uは開集合}=0}の元の事ですよね。
なのでLebesgue測度は制限写像λ^*|L:=μと書けますよね。
それで∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k∈Lを示せば(ア)からLebesgue測度0が言えると思います。
今,(ア)より
inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}=0
と分かったので
0=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}
=inf{Σ[i=1..∞]|I_i＼Bd(I_i)∪Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i＼Bd(I_i)∪Bd(I_i)}
(但しBd(I_i)は境界点)
=inf{Σ[i=1..∞]|I_i＼Bd(I_i)|+|Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i＼Bd(I_i)∪Bd(I_i)}
(∵||の定義)
からinf{Σ[i=1..∞]|I_i＼Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i＼Bd(I_i)}
となればI_i＼Bd(I_i)は開集合になので
inf{Σ[i=1..∞]|I_i＼Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i＼Bd(I_i)}=0が言え,
∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k∈Lも言え,
μ(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=λ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=0(∵(ア))
となりおしまいなのですが

inf{Σ[i=1..∞]|I_i＼Bd(I_i)|+|Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i＼Bd(I_i)∪Bd(I_i)}
から
inf{Σ[i=1..∞]|I_i＼Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i＼Bd(I_i)}
となる事がどうしても言えません。どうすれば言えますでしょうか?

回答No.1

ringohatimitu · ベストアンサー

数列の部分和の定義と∩∪の定義からすぐだと思いますよ。
面倒なので外測度を単にλで表します。
仮定はΣλ(A_k)<∞です。これは級数の収束の定義から部分和
S_N=Σ[k=1,..,N] λ(A_k)
がコーシー列、よって
任意のε>0に対してNが存在し、n≧Nならば
Σ[k=n,...,∞] λ(A_k)<ε
ということを言っているわけです。
問題は、∩[n=1,..,∞]∪[k=n,..∞] A_kの外測度を求めることですが上の事実を利用できることが分かると思います。上で示したNをとってきます。このとき
λ(∩[n=1,..,∞]∪[k=n,..∞] A_k)≦Σ[k=N,..,∞] λ(A_k)<ε
となるのはほとんど明らかですね。任意のεに対してもっと大きい番号N'をとっても問題の集合はN'から先の和集合に含まれるわけですからこれは結局λ(∩[n=1,..,∞]∪[k=n,..∞] A_k)=0でなければならないことを示しています。

お礼

> 数列の部分和の定義と∩∪の定義からすぐだと思いますよ。
> :
> なければならないことを示しています。

ありがとうございます。納得です。

(イ)についてはやはり証明できません。

inf{Σ[i=1..∞]|I_i＼Bd(I_i)|+|Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i＼Bd(I_i)∪Bd(I_i)}
から
inf{Σ[i=1..∞]|I_i＼Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i＼Bd(I_i)}
となる事がどうしても言えません。どうすれば言えますでしょうか?
すんません。

回答No.3

ringohatimitu

外測度の性質より
λ(A∪B)≦λ(A)+λ(B)
が任意の集合A,Bに対して成り立ちます。
なのでλ(S)≦λ(S∩A)+λ(S∩A^c)は常に正しいです。
逆方向についてはAが零集合としてるので第一項は消えて第二項は明らかに左辺より小さい（部分集合なので）、すなわち等号成立です。

お礼

完璧です。
参りました。
どうもありがとうございました。

回答No.2

ringohatimitu

ルベーグ可測の定義は色々ありますが外測度を用いる次の定義が今の場合都合が良いと思います（wikipedia参照）：
「任意の集合Sに対して
λ(S)=λ(S∩A)+λ(S＼A)
が成り立つときAを可測集合と呼ぶ」

これより外測度が0である集合は可測であることが分かりますね。

お礼

ありがとうございます。

「λをLebesgue外測度とするとき
任意の集合Sに対して
λ(S)=λ(S∩A)+λ(S∩A^c)
が成り立つときAをLebesgue可測集合と呼ぶ」
ですね。

任意の集合Sに対してAが零集合なら
λ(S)=λ(S∩A)+λ(S∩A^c)
が成り立つ事がどうして示せません。どうすればよろしいのでしょうか?
お手数おかけしましてすいません。