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有限加法族の定義で"φ∈Ω"は不要では?
宜しくお願い致します。 有限加法族の定義で質問です。 有限加法族の定義は 集合Ω(≠φ)の集合族2^Ωが (i) φ∈Ω (ii) A∈2^Ω⇒A^c∈2^Ω (iii)A,B∈2^Ω⇒A∪B∈2^Ω の時、2^Ωを有限加法族という。 だと思います。 (i)は 空集合の定義…空集合φは任意の集合の部分集合とする から当然だと思うのですが。。。 集合Ω(≠φ)の集合族2^Ωが (i) A∈2^Ω⇒A^c∈2^Ω (ii)A,B∈2^Ω⇒A∪B∈2^Ω の時、2^Ωを有限加法族という。 だけでOKだと思うのですが如何でしょうか?
- _Yuuka
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> 空族って存在するのでしょうか? Ωの集合族とは，Ωのべき集合 Ｐ(Ω)＝{X| Ｘ⊆Ω} の部分集合のことです。 部分集合ですから，当然空集合もあります。 族というのは，要素が集合だというニュアンスを込めているだけで，集合と同じものです。
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- take008
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> 空族(元を持たない族)がどうして(ii),(iii)を満たせるのですか? > 元が無いから(ii),(iii)も満たしようがないと思うのですが、、、 「A∈Λ⇒A^c∈Λ」は，「もし A があれば A^c もある」 ということで，無条件に何かがあるとは言っていません。 「ＰならばＱ」が正しくないのは「ＰなのにＱでない」ときだけです。 「Ｐでない」ときは「ＰならばＱ」は正しいので， Λが空のとき，(ii)(iii)は成り立っています.
お礼
有り難うございます。 集合Ω(≠φ)の集合族2^Ωの部分族Λが空族(Λ=φ)の時 (ii) A∈Λ⇒A^c∈Λ (iii)A,B∈Λ⇒A∪B∈Λ が成立つかは対偶 (ii)' A^c∈/Λ ⇒ A∈/Λ (iii)' A∪B∈/Λ ⇒ A∈/Λ or B∈/Λ を示せばいいのですね。 (ii)',(iii)'ともΛ=φから自動的に成立ちますよね。納得です。 所でまた一つ疑問なのですが 空族って存在するのでしょうか? 族とは集合の部分集合からなる集合ですよね。たとえ空集合の族であっても φ∈2^φ というふうに元を持ちますよね。 元を持たない族ってありえるのでしょうか???
- endlessriver
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ちょっと議論と外れるかもしれませんが。 有限加法族Λの定義はとても簡単ですよね。 質問者さんが「の時、2^Ωを有限加法族という。」と言っているところから＃２さんの指摘のように「2^Ω」の記述を勘違いなさっているように思います。質問者さんはΛのつもりで使っているような。 すると次のように推察します。 任意の集合Ａに対してΦ⊂ＡとΦ∈Λを勘違いされている用にも思えます。 空集合の定義はそんなにめんどうだったか？複雑に考えすぎなのでは？
お礼
どうも有り難うございました。 おかげさまで理解できました。
- take008
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No.2さんの回答でいいのですが，一点だけ間違っています。 > Λ={A,A^c}とすると、条件(ii),(iii)は満たします。 A∪A^c＝Ω なので(iii)を満たしていません。 (ii)(iii)を満たし,(i)を満たさないΛは空族だけです。 すなわち，条件(i)は「Λが空でない」ことを主張しているのです。 Φ∈Λ ⇒ Λ≠Φ は明らか Λ≠Φ ⇒ A∈Λ がある ⇒ A^c∈Λ ⇒ Ω=A∪A^c∈Λ ⇒ Φ=Ω^c∈Λ
お礼
有り難うございます。 「集合族2^Ωが」→「集合族2^Ωの部分族Λ」 とすればいいのですね。 集合Ω(≠φ)の集合族2^Ωの部分族Λが (i) φ∈Λ (ii) A∈Λ⇒A^c∈Λ (iii)A,B∈Λ⇒A∪B∈Λ の時、ΛをΩ上の有限加法族という。 ですね。分かってきました。 所でよく分からないのですが > (ii)(iii)を満たし,(i)を満たさないΛは空族だけです。 空族(元を持たない族)がどうして(ii),(iii)を満たせるのですか? 元が無いから(ii),(iii)も満たしようがないと思うのですが、、、
- adinat
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やっぱり定義がおかしいです。加法族とは何かというと、集合Ωの部分集合の特別な集まりのことです。もう少し詳しくいうと、ベキ集合（つまりオΩの部分集合全部）2^Ωの部分集合の特別なもののことです。 定義を書き直すと、 集合Ω(≠φ)の集合族Λ(⊂2^Ω)が (i) φ∈Λ (ii) A∈Λ⇒A^c∈Λ (iii) A,B∈Λ⇒A∪B∈Λ の時、ΛをΩの有限加法族という。 が正しいです。Λは“Ωの部分集合”の集まりです。したがって、Ωの部分集合としての空集合φは含まないこともありえます。実際たとえば、Aを空でもΩ全体でもないΩの部分集合として、Λ={A,A^c}とすると、条件(ii),(iii)は満たします。確率論、測度論等の兼ね合いで、空集合も加法族に入れるべきですので、したがって(i)は必要です。自動的に出てきたりはしません。 ついでに言っておきますが、2^Ω自体も確かにΩの部分集合族になっていますが、この中には当然φは含まれています。また条件(ii),(iii)も自明に成立します。なんていったって、すべての部分集合が含まれているのだから、(ii),(iii)が成り立たないわけがないのです。つまりΛとして2^Ωをとった場合は、(i)だけではなく、(ii),(iii)も成り立ち、したがって2^Ωは有限加法族なのです。ただしそれは定義ではなく、定理です。あくまでたまたまΛ=2^Ωとしたから成立しただけです。
お礼
どうも有り難うございました。 おかげさまで理解できました。
- kabaokaba
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加法族の定義が違いませんか？ >(i) φ∈Ω ではなく， 「(i) φ∈2^Ω」のはずです ＃Ωは集合なので，空集合φが ＃Ωの元であることはありえませんよ． ＃単なる誤植でしょう ちなみに「(i) φ∈2^Ω」であることが 必要なのは問題ないですよね
お礼
>「(i) φ∈2^Ω」のはずです 失礼しました。このように書きたかったのです。 > ちなみに「(i) φ∈2^Ω」であることが > 必要なのは問題ないですよね えっ!必要なのですか? 空集合の定義…空集合φは任意の集合の部分集合とする と 族の定義から自動的に「(i) φ∈2^Ω」は言えてしまうと思うのですが…
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有り難うございます。 >> 空族って存在するのでしょうか? > Ωの集合族とは，Ωのべき集合 Ｐ(Ω)＝{X| > Ｘ⊆Ω} の部分集合のことです。 > 部分集合ですから，当然空集合もあります。 > 族というのは，要素が集合だというニュアンスを込めているだけで，集合と同じもの > です。 愚問でした。べき集合と族をごっちゃにしてました。 族は単に集合の集合なのですね。空族もありえますよね。 お騒がせ致しました。