σ加法族

質問

こんにちは。σ加法族に関して少し曖昧です。次の例題で、σ加法族はどうなるのでしょうか？

Ω={1,2,3,4}
(A) σ({1,2})={φ,{1},{2},{1,2}}
(B) σ({1,2},{1,3})={φ,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3})

(A)、（B)に関して、あまり自信がないので、間違っていたらご指摘ください。

回答No.2

ojisan7 · ベストアンサー

σ({1,2})は{1,2}から生成されるσ-Algebraという意味だと判断させて頂いています。もしそうだとすると、{1,2}にＣ（補集合をとる操作）と∪（和集合を可算無限回とる操作）を施した集合族がσ({1,2})です。ですから、{1}や、{2,3}は違うのです。

お礼

ご教授有難うございます。{1},{2,3}が違うのが解りました。且｛1,2,3,4}が、そうであるのは全体集合だからで、{3,4}がそうであるのは、{1,2}の補集合だから。この考えで間違いないでしょうか？もし間違えでなければ、もう一つご指摘いただきたいのですが、{3},{4}はこれは｛１，２｝の補集合とは考えられないのはなぜでしょうか？

補足

すみません、｛１｝や｛２,３｝が補集合でないということは解りました。（A)についておかげさまで完璧に今理解できました。有難うございます

回答No.1

ojisan7

σ加法族よりは、σ-Algebraという用語がよく使われます。さて、ご質問の内容ですが、
(A) σ({1,2})={φ,{1},{2},{1,2}}
は誤りです。
σ({1,2})={φ,{1,2},{3,4},{1,2,3,4}}
が正解です。
(B) σ({1,2},{1,3})={φ,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3})
も誤りです。

お礼

ご指摘有難うございます。(A)に関しては少々自信があったのですが・・・お手数ですが、なぜそのようになるのでしょうか？なぜ、{1}や、{2,3}は違うのでしょうか？

補足

(B)については、
σ({1,2},{1,3})={φ,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{1,2,3},{1,2,3,4}} であってますでしょうか？