集合の問題お願いします

質問

実数の集合An が次の、(i), (ii)で与えられているとき、∩(n=1~∞)An を示せ

(i) An =[0, 1/n)
(ii) An =(0, 1/n)
また(iii) An =[1/n,1)のとき、∪(n=1~∞) An を示せ

回答No.1

tmppassenger · ベストアンサー

「 を示せ」でなくて「を求めよ」ですね

(i)
A = ∩[1≦n<∞] A[n] とおく。 A⊂A[1] = [0,1)。任意の自然数mに対し0∈A[m]である故、0∈A。一方任意の0<x<1なるxを取ると、1/x<kなる自然数kがあるが、この時0<1/k<x故、 A⊂A[j] = [0, 1/k ) ∌x。つまり0<x<1なるxはAに属さない。従ってA={0}

(ii) 全く同様に∩[1≦n<∞] A[n] = ∅

(iii)これも「 を示せ」でなくて「を求めよ」。C=∪[1≦n<∞] A[n] とおく。自然数mを一つとり、x∈A[m] = [1/m, 1) を取ると、0< 1/m ≦ x < 1 であるゆえ、x∈(0,1)。即ち任意の自然数mに対し A[m]⊂(0,1)。即ちC⊂(0,1)。一方y∈(0,1)をとれば、1/y < kなる自然数kがある。この時 0<1/k<yであるゆえ、y∈[1/k, 1) = A[k]⊂C。即ち(0,1)⊂C。よって C=(0,1)である。