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至急、集合と写像
至急、集合と写像 明日テストなのですが、教科書に解説が乗っていない問題のため質問させて下さい。 【1】 各n∈Nに対してEn⊂En+1であれば lim(n→∞)En=∪(n=1,∞)En 各n∈Nに対してEn⊃En+1であれば lim(n→∞)En=∩(n=1,∞)En が成り立つことを示せ。 【2】 lim(n→∞)An, lim(n→∞)Bn がともに存在すれば次の等式が成り立つことを示せ。 (1) lim(n→∞)(An∪Bn)=lim(n→∞)An∪lim(n→∞)Bn (2) lim(n→∞)(An∩Bn)=lim(n→∞)An∩lim(n→∞)Bn 【3】 A,Bを集合とし、各k∈Nに対してE2k=A, E2k-1=Bとおく。次式が成り立つことを示せ。 lim(n→∞)supEn=A∪B lim(n→∞)infEn=A∩B 自分なりに色々考えたのですが、解答がないためとても困っています。 どうか宜しくお願いします。
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「a1=a,b1=b,(a＞b＞0) a(n＋1)=(an＋bn)/2 b（n＋1）=anbn^1/2 で定まる二つの数列｛an｝,{bn}は同じ極限値を持つことを示せ。」 という問題を解いていて、このリンクの証明を見たのですが、 http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1463528674 証明の最後で、a_n+1=ka_n を満たす1より小さい正の実数kが存在することから、 a_n=k^(n-1)*a1 として、n→∞でa_n→0としていましたが、 a_n=f(n)として、f(x)が単調減少関数でf(n+1)=k_n(fn) (k_nはnによって変化する1より小さいある正の定数)となっても、 k_nはnに依存するので、必ずしもx（またはn)→∞でf(x)(またはf(n))→0になるとは限らないのではないのでしょうか。（ex. k_n→1 (n→∞), f(x)=(1/x)+(1/2)) その可能性はないのでしょうか？ 以下がリンク先の証明の全文です。 与えられた漸化式と0＜a＜bより帰納的に0＜an,0＜bnとなる。 すると相加・相乗平均の関係より a(n+1)/b(n+1)=(an+bn)/2√(anbn) =(1/2){√(an/bn)+√(bn/an)}≧(1/2)*2*√(an/bn)*√(bn/an) =1 ∴b(n+1)≦a(n+1)となる。 ここで等号が成り立つとすると bn=anより a(n+1)=(1/2)(an+bn)=(1/2)*2an=an となり an=a(n-1)=…=a1=a=b1=b となりa＜bに矛盾する。 よって等号は成立しないので b(n+1)＜a(n+1) となり、したがって bn＜an…(*) となる。 すると an+bn＜2anより a(n+1)=(1/2)(an+bn)＜(1/2)*2an=an となる。 したがって0＜anより a(n+1)=k*an を満たす1より小さい正の実数kが存在する。 すると an=k*a(n-1)=k^2*a(n-2)=…=k^(n-1)*a1=k^(n-1)*a となるから lim[n→∞]an=a*lim[n→∞]k^(n-1)=0…(**) となる。 すると(*)と0＜bnより 0＜bn＜an だから(**)からはさみうちの原理により lim[n→∞]bn=0 となる。 よって lim[n→∞]an=lim[n→∞]bn=0 となる。
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