微分

質問

|a|<1のとき、lim n→∞　n(a＾n)=0を示す問題なのですがどのように解くかわかりません。

はさみうちの定理を使うそうですが
an≦bn≦cnnotoki

lim (n→∞) an=A
lim (n→∞) cn=A ならば
lim (n→∞) bn=A
がいえる公式がありますがどのように考えるのかわかりません。

お願いします

回答No.3

yumisamisiidesu

すいません、No1は間違ってました
n<b^nは全ての自然数nでは成り立たないです
ですが、nを十分大きくするとそれ以上の自然数n'に対してもn'<b^n'が成り立つと思いますが、それを証明することはこの問題の核と殆ど同じですね

回答No.2

rider-chonchon

質問者さんの公式といわれてるものは、はさみうちの定理のことですね。０に収束するときはさみうちの定理の使い方として次のような定理(?)があります。
lim(n→∞){｜(nを含む式)｜}＝０
ならば
lim{(nを含む式)}＝０
となります。
今、これを使います。
｜a｜＜１より｜a｜＝１/１＋α (α＞０)
とおきます。そうすると、
｜ｎ(a^n)｜＝n/(1+α)^n
となります。ここで二項定理を使います。
(1+α)^n=nＣ0α^n+nＣ1α＾(n-1)+nＣ2α^(n-2)・・・
＝α^n+nα^(n-1)+{n(n-1)/2}*α^(n-2)+{n(n-1)(n-2)/6}*α^(n-3)・・・
＞α^n+nα^(n-1)+{n(n-1)/2}*α^(n-2)
よって
｜n(a^n)｜＜n/[α^n+nα^(n-1)+{n(n-1)/2}*α^(n-2)]
　　　　＝１/[(α^n)+α^(n-1)+{(n-1)/2}*α^(n-2)]
→０　　(n→∞)
よって
０＜lim(n→∞)｜n(a^n)｜＜０
となるので、はさみうちの定理により,答えです。はさみうちを使った証明は難しいので頑張ってください。

回答No.1

yumisamisiidesu

(ⅰ)0=<a<1の場合について考えます
はさみうちの定理を使ってとくとしたら、
ご質問文の　anを0の定数列,cnをb^nとすればいいと思います

(* cnの立て方)
n(a＾n)=n(1/a)^(-n)
x=|1/a|>1とおく
b∈(1,x)の間の数とすると
n<b^n<x^nが成り立つ
∴ n(a＾n)
　=n/((1/a)^n)
　=n/(x^n)
　<(b^n)/(x^n)
　=(b/x)^n →0 as n→∞

(ⅱ)-1<a<0のとき
(ⅰ)をヒントに考えてみて下さい