証明問題が得意な方おねがいします。

質問

次の定理をεーn式定義に従って証明。
２つの数列{Ａｎ}、{Ｂｎ}について、　lim　Ａｎ＝ａ、　　lim　Ｂｎ＝ｂ
　　　　　　　　　　　　　　　　　ｎ→∞　　　　　　　ｎ→∞
ならば

　　lim(Ａｎ±Ｂｎ)＝ａ±ｂ　　(復号同順)

回答No.1

Umada · ベストアンサー

この問題、当たり前と言えば当たり前で、そのために却って証明が難しいくらいですが、一応理屈を付けておくとすると以下のような説明でいかがでしょうか。

【収束の定義】
数列{An}について、任意の正の数εを定めた時それに対応して決まる数n0が存在して、n>n0なるnに対しすべて|An-a|<εとできる場合、数列{An}は収束するといいaをその極限値と呼ぶ。

【証明】
いま、ある正の数εを考える。
問題より数列{An}{Bn}は収束しその極限値はa, bと与えられているので、上記の収束の定義に従えば
Anについて　n>n1なるnに対しすべて|An-a|<εとできる数n1が存在する
Bnについて　n>n2なるnに対しすべて|Bn-b|<εとできる数n2が存在する
ことが分かる(注: 一般にn1=n2とは限りません)。n1, n2のいずれか大なる方をn*ととする。

次に数列{An+Bn}について考える。ここに|An+Bn-a-b|なる式を考えると
|An+Bn-a-b|≦|An-a|+|Bn-b|　　　(1)
が成り立つ。(絶対値に関する一般的な規則、|X+Y|≦|X|+|Y|を使っただけです)

さて{An}{Bn}の収束に関する議論から、n>n*なるnに対して
|An-a|<ε　　　(2a)
|Bn-b|<ε　　　(2b)
が成立する。しかるにn>n*なる総てのnに対して
|An+Bn-a-b|≦|An-a|+|Bn-b|<2ε　　　(3)
とできる。
つまり、
「数列{An+Bn}に対し任意の数2εを定めた時、それに対応して決まる数n*が存在し、n>n*なるnに対しすべて|An+Bn-a-b|<2εとできる」
と言える。(もし何となく納まりが悪ければ、2εを改めてεに置き換えて読んで下さい)
これは冒頭の収束の定義に他ならず、また極限値は(a+b)である。

{An-Bn}の証明についても全く同じやり方でできます。上記の(1)は
|An-Bn-a+b|≦|An-a|+|Bn-b|　　　(4)
となります。(今度は|X-Y|≦|X|+|Y|を使います)
(2a)(2b)は全く同じです。
(3)は
|An-Bn-a+b|≦|An-a|+|Bn-b|<2ε　　　(5)
と書き改められ、結論は
「数列{An-Bn}に対し任意の数2εを定めた時、それに対応して決まる数n*が存在し、n>n*なるnに対しすべて|An-Bn-a+b|<2εとできる」
ということになり、{An-Bn}もまた収束しその極限値はa-bであると言えます。

お礼

本当にありがとうございました。
とっても分かりやすかったです。