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等差数列
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- 回答No.2
- asuncion
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(1) 数列{bn}の漸化式b[n+1] = 2b[n] - 1（この解釈でいいんですよね？）は b[n+1] - 1 = 2(b[n] - 1)と変形できる。 数列{b[n] - 1}は初項b[1] - 1 = 2, 公比2の等比数列であるから、 一般項b[n] - 1= 2^n よってb[n] = 2^n + 1 (2) 数列{a[n]}の一般項を求める。初項 = a, 公差 = dとする。 条件より、a[1] + a[2] + a[3] = a + (a + d) + (a + 2d) = 3a + 3d = 30, a + d = 10 また、a[5] = a + 4d = 22 よってd = 4, a = 6であるから、数列{a[n]}の一般項a[n] = 6 + 4(n - 1) = 4n + 2 {a[n]} = 6, 10, 14, 18, 22, 26, ... {b[n]} = 3, 5, 9, 17, 33, 65, ... となり、数列{a[n]}の項はすべて偶数、数列{b[n]}の項はすべて奇数であるから、 数列{a[n]}, {b[n]}の両方に表われる数はない。 数列{c[n]}（n = 1～50）に、数列{a[n]}, {b[n]}からいくつずつ入るかを考える。 a[4] ＞ b[4], a[5] ＜ b[5]であるから、数列{a[n]}から{c[n]}に入るのはa[1]～a[4]、 {b[n]}から{c[n]}に入るのはb[1]～b[46] よって求める和は Σ[k=1～4](4k + 2) + Σ[k=1～46](2^k + 1) = 4・(4・5)/2 + 8 + 2(2^46 - 1) + 46 = 48 + 2^47 - 2 + 46 = 2^47 + 92
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- 回答No.5
- asuncion
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{a[n]}から何個、{b[n]}から何個持ってくるかは、こんな考え方があるかも。 仮に50個すべてを{a[n]}から持ってきたとする。このとき、c[50] = 202であるが、 {b[n]}の中にはb[n] ＜ 202を満たす項があるので、{b[n]}からも何個か持ってくる必要がある。 ここで、b[7] = 129 ＜ 202 ＜ 257 = b[8]だから、{b[n]}からは7個持ってくる必要がある。 よって{a[n]}からは43個持ってくる必要がある。
- 回答No.4
- asuncion
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#1さんの回答を修正します。 つまり，{c(n)}(n=1,2,3,……,50)は，{b(n)}の初項から第7項の127まで含み，他は{a(n)}の項からなる。 {b(n)}の項が7項入っているので，{a(n)}の項は初項から第43項までが含まれます。 したがって{c(n)}の初項から第50項までの和は {a(n)}の初項から第43項までの和と，{b(n)}の初項から第7項までの和の合計となります。 {a(n)}の和は公式を使うでしょう。 Σ[k=1～43](4k + 2) = 4・43・44/2 + 2・43 = 3870 {b(n)}の和は3+5+9+17+33+65+129=261でもよいですね。 よって求める和は3870 + 261 = 4131
- 回答No.1
- kiha181-tubasa
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面白い問題ですね。定理を使って一発で答えが出るのではなく，いろいろ知恵を働かせる問題だと思います。 数列{a(n)}の一般項は，a(n)=4n+2であることはすぐに求まります。 （初項と公差を未知数とする連立方程式を解く作業ですね） 数列{b(n)}がちょっと気になります。カッコ内の条件(n=1,2,3,……)はこれで間違いないですか。(n=2,3,……)だと普通なのですが。 b(1)=3,b(n)+1=2b(n-1),(n=2,3,……) これが正しいとして解きましょう。 ２項間の漸化式の問題ですから，b(n)=2^n+1であることはすぐに求まりますね。 さあ，ここで厄介な{c(n)}です。 2つの数列{a(n)}または{b(n)}に含まれる数とありますが，「または」ですから「少なくとも一方に含まれる項」からなる数列です。そして，{a(n)}と{b(n)}には共通項はありません。{a(n)}の項はすべて偶数，{b(n)}の項はすべて奇数ですから。 項を書き並べてみると {a(n)}：6,10,14,18,22,26,30,…… {b(n)}:3,5,9,17,33,65,129,257,…… これらの項を小さい順に並べて作った数列が{c(n)}です。 （{a(n)}と{b(n)}には共通項はがないので作業はその分少し楽になります） a(n)<257とおくと 4n+2<257,4n<255,これを満たす最大の整数はn=63 これが意味するのは，{c(n)}(n=1,2,3,……,50)に，b(8)=257は含まれない。（{c(n)}は257までたどり着けない） a(n)<129とおくと 4n+2<129,4n<127,これを満たす最大の整数はn=31 つまり，{c(n)}(n=1,2,3,……,50)は，{b(n)}の初項から第7項の127まで含み，他は{a(n)}の項からなる。 {b(n)}の項が7項入っているので，{a(n)}の項は初項から第53項までが含まれます。 したがって{c(n)}の初項から第50項までの和は {a(n)}の初項から第53項までの和と，{b(n)}の初項から第7項までの和の合計となります。 {a(n)}の和は公式を使うでしょう。 53*(2*6+52*4)/2=5830 {b(n)}の和は3+5+9+17+33+65+129=261でもよいですね。 この合計 5830+261=6091 求めるものです。
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質問者からのお礼
ありがとうございます！ とても助かりました！