面白い問題ですね。定理を使って一発で答えが出るのではなく,いろいろ知恵を働かせる問題だと思います。
数列{a(n)}の一般項は,a(n)=4n+2であることはすぐに求まります。
(初項と公差を未知数とする連立方程式を解く作業ですね)
数列{b(n)}がちょっと気になります。カッコ内の条件(n=1,2,3,……)はこれで間違いないですか。(n=2,3,……)だと普通なのですが。
b(1)=3,b(n)+1=2b(n-1),(n=2,3,……)
これが正しいとして解きましょう。
2項間の漸化式の問題ですから,b(n)=2^n+1であることはすぐに求まりますね。
さあ,ここで厄介な{c(n)}です。
2つの数列{a(n)}または{b(n)}に含まれる数とありますが,「または」ですから「少なくとも一方に含まれる項」からなる数列です。そして,{a(n)}と{b(n)}には共通項はありません。{a(n)}の項はすべて偶数,{b(n)}の項はすべて奇数ですから。
項を書き並べてみると
{a(n)}:6,10,14,18,22,26,30,……
{b(n)}:3,5,9,17,33,65,129,257,……
これらの項を小さい順に並べて作った数列が{c(n)}です。
({a(n)}と{b(n)}には共通項はがないので作業はその分少し楽になります)
a(n)<257とおくと
4n+2<257,4n<255,これを満たす最大の整数はn=63
これが意味するのは,{c(n)}(n=1,2,3,……,50)に,b(8)=257は含まれない。({c(n)}は257までたどり着けない)
a(n)<129とおくと
4n+2<129,4n<127,これを満たす最大の整数はn=31
つまり,{c(n)}(n=1,2,3,……,50)は,{b(n)}の初項から第7項の127まで含み,他は{a(n)}の項からなる。
{b(n)}の項が7項入っているので,{a(n)}の項は初項から第53項までが含まれます。
したがって{c(n)}の初項から第50項までの和は
{a(n)}の初項から第53項までの和と,{b(n)}の初項から第7項までの和の合計となります。
{a(n)}の和は公式を使うでしょう。
53*(2*6+52*4)/2=5830
{b(n)}の和は3+5+9+17+33+65+129=261でもよいですね。
この合計 5830+261=6091 求めるものです。
お礼
ありがとうございます! とても助かりました!