• ベストアンサー
  • すぐに回答を!

漸化式とA^n

漸化式とA^n 行列A=(1 -1)について,A^n=(an bn)(n>=1)とする。 ^^^^^^(0 2)^^^^^^^^^^^^^(cn dn) (1)an,bn,cn,dnを求めよ。 (1)A^n+1=A^nAから(an+1 bn+1)=(an -an+2bn) ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^(cn+1 dn+1)^(cn -cn+2dn) となって解答は処理していたんですが、自分はA^n+1=AA^nとして処理しようとしました。 しかし、答えが一致しません。誰か、途中式書いて教えてください。

共感・応援の気持ちを伝えよう!

  • 回答数4
  • 閲覧数88
  • ありがとう数1

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.3

こんばんわ。 同じ結果にならないとのことですが、結果は同じになりますよ。^^ #2さんが「一般に AB≠BA」と書かれていますが、 いまは Aだけしか考えていないので、 A^n A= A A^n となります。 ですから、#1さんが言われているとおり、同じ結果になりますよ。 結果ですが、#2さんとは少し違いました・・・。 まずは、4つの連立漸化式を書き下してください。 あとは、以下のような手順で。 ・まずは「定数」となる数列が 2つほどありますね。 それを残りの漸化式に代入してあげます。 ・luutさんの方法だと、階差数列が現れるはずです。 そして、「解答」の方法であれば通常の隣接 2項間の漸化式が現れます。 できれば計算過程を書いてほしいですね。^^

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

関連するQ&A

  • 漸化式

    漸化式についてなんですが、 問題;数列{an}の初項から第n項までの和をSnとするとき、関係式Sn=2An+nが成り立っている。 n>=1のとき、Bn=A(n+1)-Anとおく。Bnをnを用いて表せ。 というものなんですが、どう変形したりしてもnで表せません。 答えはBn=-2^nなのですが、途中式が解法として載ってないのでよく分かりません。 ご解答お願いします。

  • 数列教えてください(誘導に従うと解けません・・・)

    A(1)=4、A(n+1)=4-3/An、 Bn=A(1)・A(2)・A(3)・・・A(n)、 Cn=B(n+1)-Bn (1)Cnの一般項を求めよ (2)Bnの一般項を求めよ (3)Anの一般項を求めよ という問題なのですが、解説には、 (1)は、Cn=A(1)・A(2)・A(3)・・・A(n){A(n+1)-1}=A(1)・A(2)・A(3)・・・A(n)(3-3/An) =A(1)・A(2)・A(3)・・・A(n)[3・{(An-1)/An}] とだけ書いてあり、答えは、Cn=3^(n+1)となるようです。 自分でもいろいろ考えたのですが、分数型の漸化式として解くと、(3)のAnは答えが出ました。 ですが、(1)と(2)は(3)の誘導だと思うのに、(1)→(2)→(3)と解けません。(この仮定が間違っているのでしょうか。) 【質問】この問題は(1)→(2)→(3)と解けるのでしょうか。その解き方を教えてください。よろしくお願いします。 ----------------------------- *(自分の考え)Anの出し方 A(n+1)=[4An-3]/An、 AnA(n+1)をxとおくと、x^2-4x+3=0より、x=1,3 よって、[A(n+1)-1]/[A(n+1)-3]=[A(n)-1]/[A(n)-3]×3 ここで、Dn=[A(n)-1]/[A(n)-3]とおくと、 D(n+1)=3Dnより、Dn=3^(n-1)・D(1) D(1)=3より、[A(n)-1]/[A(n)-3]=3^n 以上より、An=[{3^(n+1)}-1]/[(3^n)-1]・・・(答え) *ちなみに、(2)(3)の答えは、それぞれ、Bn=1/2(3^(n+1)-1)、An=[{3^(n+1)}-1]/[(3^n)-1]です。

  • 4-18 研究 高校数学の漸化式

    a[1]=2,b[1]=1の時 a[n+1]=2a[n]+5b[n] b[n+1]=a[n]+2b[n]によって定まる分数a[n]/b[n]は√5の近似値であることを示せ 回答 a[n+1]=2a[n]+5b[n] b[n+1]=a[n]+2b[n]という条件から 2a(n+1)-5b(n+1)=4an-5an=-an 5b(n+1)=2a(n+1)+an a[n+2]=2a[n+1]+5b[n+1]=2a(n+1)+2a(n+1)+an a(n+2)=4a(n+1)+an λ^2-4λ-1=0 →λ=2-√5, 2+√5 →α=2-√5, β=2+√5 a(n+2)-αa(n+1)=β{a(n+1)-αa(n)}(1) a(n+2)-βa(n+1)=α{a(n+1)-βa(n)}(2) ふたたび a[n+1]=2a[n]+5b[n]と b[n+1]=a[n]+2b[n]という条件から得られる a[n+2]=2a[n+1]+5b[n+1] を(1)(2)に代入して 2a[n+1]+5b[n+1]-αa(n+1)=β{2a[n]+5b[n]-αa(n)}(1)' 2a[n+1]+5b[n+1]-βa(n+1)=α{2a[n]+5b[n]-βa(n)}(2)' α=2-√5, β=2+√5を代入して 2a[n+1]+5b[n+1]-(2-√5)a(n+1)=β{2a[n]+5b[n]-(2-√5)a(n)}・・・(1)'' 2a[n+1]+5b[n+1]-(2+√5)a(n+1)=α{2a[n]+5b[n]-(2+√5)a(n)}・・・(2)'' (1)''⇔√5a(n+1)+5b[n+1]=β{√5a[n]+5b[n]}・・・(1)''' (2)''⇔√5a(n+1)-5b[n+1]=α{√5a[n]-5b[n]}・・・(2)''' これはともに等比数列の漸化式 わかりにくければ置き換えて c[n]=√5a[n]+5b[n]=√5(a[n]+√5b[n]) d[n]=√5a[n]-5b[n]=√5(a[n]-√5b[n])とおいて (1)'''⇔c(n+1)=βcn・・・(1)'''' (2)'''⇔d(n+1)=αdn・・・(2)'''' [これはともに等比数列の漸化式] (1)'''',(2)''''をβ^(n+1),α^(n+1)でわれば c(n+1)/β^(n+1)=c(n)/β^n=....=c[1]/β={√5a[1]+5b[1]}/β=(2√5+5)/β =√5(2+√5)/β=√5 d(n+1)/α^(n+1)=d(n)/α^n=....=d[1]/α={√5a[1]-5b[1]}/α=(2√5-5)/α =√5(2-√5)/α=√5 とあったのですが、c(n)/β^n=....=c[1]/βですが何故これらが等しいのですか? 後最後のd(n+1)/α^(n+1)=d(n)/α^n=....=d[1]/α={√5a[1]-5b[1]}/α=(2√5-5)/α =√5(2-√5)/α=√5 ここからどうやってa[n]/b[n]は√5の近似値であることを示せるのですか?

その他の回答 (3)

  • 回答No.4
  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4758)

A^n+1 = A A^n として処理しようという方針に間違いは無いので、 同じ結果になるはずです。ならなかったとしたら、計算ミスですね。 貴方がどこで間違えたのか知るためには、途中式が必要です。 質問する貴方が、まず、途中式を書いてください。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

  • 回答No.2

>A^n+1=AA^n が引っ掛かります。 A^n+1=A^nAではないでしょうか 一般に AB≠BAだからです。 ともあれ A^n+1=A^nA で計算した結果 an=1 bn=-1 cn=0 dn=2^n となりましたが参考になりますか。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

  • 回答No.1
  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)

計算が間違っていなければ, どちらで計算しても同じ結果になるはずですよ. その「解答」の式で確認してみてください.

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からの補足

同じ結果にならないので、質問しているんですが・・・ 自分がどこで間違えたのか知るために途中式を求めているんです。

関連するQ&A

  • 余りに関する漸化式 

    整数n>=0、数列{an}をa0=1,a1=2,a(n+2)=a(n+1)+anによって定める。 anを3で割った余りをbnとし、cn=b0+b1+・・・+bnとおく。 (1)b0,b1,......b9を求めよ。 これはわかりました。 なぜ、求めさせたかもわかります。 (2)c(n+8)=cn+c7を示せ。  (1)から{bn}は周期8の数列でc(n+8)-cn=b(n+1)+......+b(n+8)となり、  右辺は順番は異なるが、1+2+0+2+2+1+0+1=9=c7となる。  よって、c(n+8)-cn=c7 このように考えましたが、答案としてこれで良いのでしょうか。  また、この漸化式をなぜ問題として、示させたのか。たぶん次ぎの(3)  につながるのだろうとは思うが、よく分かりません。 (3)n+1=<cn=<3(n+1)/2 を示せ。   (2)を使うのだろうと思うのですが、どう使っていくのかとっかかりができません。   方針だけで良いので、示してもらえるとありがたいです。

  • 数列の問題

    次の数列の問題の解答をお願い致します。 2つの数列{an},{bn}は、a1=5,b1=2で、 漸化式(n=1,2,3,…) an+1=4an-3bn bn+1=2an-bn  をみたす。 a1=アイ,b1=ウ である。 数列{cn}をcn=an-bn(n=1,2,3,…)を定めると、 数列{cn}は cn+1=エcn をみたす。 よって、数列{cn}の一般項は cn=オ・カ^n-1 である。 また、pを定数とし、数列{bn}をdn=an-pbn(n=1,2,3,…)と定める。 すべての自然数nについて、dn+1=dnが成り立つのは p=キ/ク のときであり、このとき数列{dn}の一般項は dn=ケ である。 以上より、数列{an},{bn}の一般項は、それぞれ an=コ・サ^n-1-シ bn=ス・セ^n&#65293;ソ  である。 さらに、数列{anbn}の初項から第n項までの和&#8721;akbkは タ・チ^2n+1-ツテ・ト^n+2+ナニn+ヌネ となる。 アイ=14、ウ=8、エ=2までは解けたのですが、 以降、行き詰っています。

  • 数学 漸化式 応用

    問題1:数列{an}がa1=1,a2=2,a(n+2)=-a(n+1)+2an(n=1,2,3,…)で定められるとき,次の問いに答えよ。 (1)bn=a(n+1)-an(n=1,2,3,…)とするとき,b(n+1)をbnを用いて表せ。 (2)(3)は(1)が解けたらたぶん解けるので(1)を教えて下さい^^ 問題2:数列{an},{bn}がa1=1,b1=3,a(n+1)=2an+bn,b(n+1)=an+2bnで定められている。このとき{an+bn}の一般項と,{an-bn}の一般項を求めよ。またこれらの結果より,{an}の一般項,{bn}の一般項を求めよ。 よろしくお願いします。 全然ぃぃアイデアが思い浮かびません^^; 普通の漸化式と違っていて… 何をいっているのかもわかりません。 お願いします。

  • 漸化式 an+bn√3=(2+√3)^n 自然数nで

    漸化式 an+bn√3=(2+√3)^n 自然数nで 一般項an,bnを求めよ。 次のように考えましたが、分からないがありますので よろしくおねがいします。 a(n+1)+b(n+1)√3=(2+√3)(2+√3)^n これより a(n+1)=2an+3bn..(1),b(n+1)=an+2bn..(2) 次に、a(n+1)-αb(n+1)=β(an-αbn)とおく。 これに(1)(2)を代入すると、 (2-α-β)an=(-3+2α-αβ)bn...(3) ア、2-α-β=0のとき、   -3+2α-αβ=0で、これより、α^2=3となり、........ イ、2-α-β=0 でないとき、  (3)を2-α-βでわると an=kbn とおける。k=(-3+2α-αβ)/(2-α-β) これを、(1)に代入すると、kb(n+1)=(2k+3)bn ここら辺から、自分で何をやっているのか、分からなく収拾がつかなくなってきました。 よろしく、おねがいします。    

  • 係数を求める計算です。

    r>0の定数、g(θ)はθ∈[0,2π]で連続な関数とします。 係数an,bn.cn.dnを(n∈N)求めるために次の3つの方程式を考えます。 a0,c0はan,cnにおいてn=0としたものです。 このとき 2π (a0+c0&#8226;logr) = ∫(0~2π)g(θ)dθ 2π {bn(r^n)+dn(r^(-n))} = ∫(0~2π)g(θ)(e^inθ)dθ 2π {an(r^n)+cn(r^(-n))} = ∫(0~2π)g(θ)(e^(-inθ))dθ 以上の3つの方程式から、 an,bn.cn.dnを計算して求めたいところです。 どのように計算をすれば求められますでしょうか? テキスト等や問題集には詳しい計算が省略されていて困っています。 どなたか解法、途中計算をよろしくお願い致します。

  • 高校数学

    高校数学の行列ですが、どうしてもわかりません。分かる方教えて下さい。 問題 行列A=( 2,3,1,2 ) , P=( √3,-√3,1,1 )に対して、B=P^(-1)APとおく。 また、n=1,2,3,・・・に対して、an,bnを ( an,bn )=A^n(2,0)で定める。次の問いに答えよ。 (1) P^(-1)およびBを求めよ。 (2) an,bnを求めよ。 (3) 実数xを超えない最大の整数を[x]で表す。このとき [(2+√3)^n]=an-1 (n=1,2,3,・・・)を示せ。 また cn=(2+√3)^n-[(2+√3)^n] とするとき、 lim(n→∞)cn の値を求めよ。

  • 2数列の共通項から新しい数列を作ります

    初項が1,公差が3の等差数列{An}と 初項が11,公差が10の等差数列{Bn} に共通に含まれる項を小さい順に並べてできる数列{Cn}の一般項Cnを求めよ。 ------------------------------- という問題で、自分でといてみたところ、 An=3n-2 {Bn}=11,21,31,41,…,10n+1 An=Bnが成り立つBnの最小値は31なので、 初項は31、公差は3×10=30 よって、{Cn}=31+(n-1)・30=30n+1 ------------------------------- と解いてみたのですが、模範解答はもっと長く書いてありました。私の解き方ではダメなのでしょうか??または今回は偶然求められただけなのでしょうか? ちなみに、模範解答を読んでも意味がわからないので、どなたかわかりやすくまとめて頂けるとありがたいです。 ------------------------------- 【模範解答】 An=3n-2 Bn=10n+1 等差数列{An}の第p項と等差数列{Bn}の第q項が一致する。 すなわち、Ap=Bq。このとき、 3p-2=10q+1 …(1) 3(p-1)=10q これより、3と10は互いに素であるから、qは3の倍数となり、 q=3k (kは整数) …(2) とおける。 (2)を(1)に代入して、 3p-2=10×3k+1 p=10k+1 よって、 p=10k+1 q=3k p>0,q>0より,k>0であるから、 A(10k+1)=3×(10k+1)-2 =30k+1 したがって、{Cn}=30n+1

  • 高校数学C、行列の問題です。分かる方、お願いします

    ※行列は(左上、右上、左下、右下)、(上、下)(2×1行列)とします。 問題 行列A=( 2,3,1,2 ) , P=( √3,-√3,1,1 )に対して、B=P^(-1)APとおく。 また、n=1,2,3,・・・に対して、an,bnを ( an,bn )=A^n(2,0)で定める。次の問いに答えよ。 (1) P^(-1)およびBを求めよ。 (2) an,bnを求めよ。 (3) 実数xを超えない最大の整数を[x]で表す。このとき [(2+√3)^n]=an-1 (n=1,2,3,・・・)を示せ。 また cn=(2+√3)^n-[(2+√3)^n] とするとき、 lim(n→∞)cn の値を求めよ。 よろしくお願いします。

  • 数列{an}、{bn}の共通項から数列作成問題

    よろしくお願いします。 an=8n-2 bn=6n+2 とする。 数列{an}と{bn}に共通して現れる数を小さい順に並べて新しい数列{cn} を作る時、cnの初項と公差を求めよ。 という問題で anの第m項と、bnの第n項が等しくなるから、 8m-4=6n+2 ⇔2(2m-1)=3n これより2と3は互いに素だからn=2k と表せられる。 よってbnのnに2kを代入して、 cn=b2k=6(2k)+2=12k+2 ゆえにcn=12n+2 と解きましたが間違っておりました。 解答では、 an=8n-2=8(n-2)+14 bn=6n+2=6(n-2)+14 と変形できる。am=bnとすると8(m-2)+14=6(n-2)+14 よって 4(m-2)=3(n-2), m≧2、 n≧2 4と3は互いに素だから、kを自然数として m-2=3(k-1) よってm=3k-1からcnはanの第3k-1項であり、 8(3k-1)-2=24k-10=14+(k-1)*24 したがって初項14、公差24である。 と解いてありました。 私の解答のどこがいけないのか、解答は一体何をやっているのか を教えて下さい。 よろしくお願いします。

  • 等差数列

    等差数列{an}があり、a1+a2+a3=30、a5=22である。また、数列{bn}があり、b1=3、bn+1=2bn-1(n=1、2、3、…)を満たしている。 (1)bnをnを用いて表わせ。 (2)2つの数列{an}または{bn}に含まれる数を小さい順に並べてできる数列を{cn}とする。50 &#8721;Cnを求め     n=1 よ。 難しくて、解けません。お願いします。