余りに関する漸化式の性質と計算方法
- 整数n>=0、数列{an}をa0=1,a1=2,a(n+2)=a(n+1)+anによって定める。anを3で割った余りをbnとし、cn=b0+b1+・・・+bnとおく。
- (1)b0,b1,......b9を求めよ。これはわかりました。なぜ、求めさせたかもわかります。 (2)c(n+8)=cn+c7を示せ。 (1)から{bn}は周期8の数列でc(n+8)-cn=b(n+1)+......+b(n+8)となり、右辺は順番は異なるが、1+2+0+2+2+1+0+1=9=c7となる。よって、c(n+8)-cn=c7 このように考えましたが、答案としてこれで良いのでしょうか。
- (3)n+1=<cn=<3(n+1)/2 を示せ。 (2)を使うのだろうと思うのですが、どう使っていくのかとっかかりができません。方針だけで良いので、示してもらえるとありがたいです。
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余りに関する漸化式
整数n>=0、数列{an}をa0=1,a1=2,a(n+2)=a(n+1)+anによって定める。 anを3で割った余りをbnとし、cn=b0+b1+・・・+bnとおく。 (1)b0,b1,......b9を求めよ。 これはわかりました。 なぜ、求めさせたかもわかります。 (2)c(n+8)=cn+c7を示せ。 (1)から{bn}は周期8の数列でc(n+8)-cn=b(n+1)+......+b(n+8)となり、 右辺は順番は異なるが、1+2+0+2+2+1+0+1=9=c7となる。 よって、c(n+8)-cn=c7 このように考えましたが、答案としてこれで良いのでしょうか。 また、この漸化式をなぜ問題として、示させたのか。たぶん次ぎの(3) につながるのだろうとは思うが、よく分かりません。 (3)n+1=<cn=<3(n+1)/2 を示せ。 (2)を使うのだろうと思うのですが、どう使っていくのかとっかかりができません。 方針だけで良いので、示してもらえるとありがたいです。
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(2)はそれでいいと思います。 (3)は帰納法ですね。 n=0,1,2,・・・,7のとき成り立つことを確認して、 n+1=<cn=<3(n+1)/2が成り立つとき、 (n+8)+1=<c(n+8)=<3((n+8)+1)/2が成り立つことを示す。 n+1=<cn=<3(n+1)/2 n+1+c7=<cn+c7=<3(n+1)/2+c7 n+1+9=<c(n+8)=<3(n+1)/2+9 (n+8)+1<n+10=<c(n+8)=<3(n+1)/2+9<3((n+8)+1)/2
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