背理法と数列

質問

（a1）=1,（an+1）=（an）-9/（an）-5で定められる数列｛an｝がある。

(1)すべての自然数nに対して(an)not=3であることを示せ。

教えてほしいところ
模範解答では背理法である自然数(an+1)=3とするとと仮定して、矛盾を導き
(an)not=3であるとしていました。
しかし、背理法で仮定したのはあくまで、(an+1)=3が成り立つとした次元です。
ですから、それが矛盾した結果は(an+1)=3が成り立たないという結果が得られるだけで、
anが成り立たなかったという結果は得られないのでは？？？

回答No.1

uxda · ベストアンサー

模範解答が間違っていなければ、
あなたが勘違いしています。

その証明の中心となるのは
“数学的帰納法”のはずです。

背理法に見えるのは、数学的帰納法の
プロセスの一部に過ぎません!

回答No.6

noname#129827

どうも証明が間違っていた。
(*)より
a(k＋1)<ak ではなくてa(k＋1)>akなのでもはや(#)は示したことにならない。

回答No.5

alice_44

「全ての自然数 x に対して a_x ≠ 3」と
「全ての自然数 y に対して a_(y+1) ≠ 3」は、全く同じ命題です。
　x = y+1 で対応させているだけです。

回答No.4

noname#129827

a(n＋1)-an={-(an-3)^2}/(an-5)　・・・・・(*)
を使って
初期数列a1=1<5より　次のことが証明できる。

prop: 任意のnについてan<3 ・・・・・(#)

1)n=1のときは自明
2)n=kのとき(#)だと仮定する。
n=k＋1とすると(*)より　ak-5<0からa(k＋1)<akが満たされる
よってn=k＋1としても　OK
以上(#)は成立する

このように考えれば簡単にan≠3 for ∀n∈N であることが分かる。

しかし、背理法でもなかなか面白いことにan≠3 for ∀n∈Nだということが分かる。
ある自然数mについて
a(m＋1)=3だと仮定する。
3=(am-9)/(am-5) ⇔ am=3　

これを繰り返すとa1=3であることが明らかで、初期数列の条件a1=1から
矛盾する。よってan≠3 for ∀n∈N

回答No.3

Segenswind

「すべての自然数nに対して(an)≠3」の否定は、「(an)＝3となる自然数nが少なくとも１つは存在する」です。
模範解答は、この命題を仮定した時に矛盾が生じることを示して元の命題を証明、つまり背理法による証明を行っています。

そして、ここでさらに模範解答は、数学的帰納法の応用を加えて使うことにしました。
(a1)＝1≠3は明らかで、各項は直前の項に依存していますから、「(an)＝3となる自然数nが少なくとも１つは存在する」というのは、「(an)≠3の時に、(an+1)＝3となる自然数nが少なくとも1つはある」と同じことを意味します。
つまり、(a2), (a3),(a4), …のどこかで、(an)≠3から(an+1)＝3に転換するところがなければいけない、ということです。
この時、(an)≠3は前提なので、これが成り立つかどうかは考える必要がないことに注意してください。
この仮定に基づいて矛盾を示せば、元の命題を証明できることになります。

実際に、「(an)≠3の時に、(an+1)＝3となる自然数nが少なくとも1つはある」と仮定してみると、 (an)＝3という結論が出てきてしまい、ここで当初の仮定との矛盾を示せます。
別の言い方をすれば、(an+1)＝3が成り立つためには(an)＝3でなければならず、同様に(an-1), (an-2), (an-3),…, (a2), (a1)もすべて3でなければならない。
しかし、(a1)＝1≠3
従って、「(an)＝3となる自然数nは存在しない」≡「すべての自然数nに対して(an)≠3」ということが言え、元の命題が証明できたことになります。

回答No.2

wasabifumi

ある自然数(an+1)=3とするとと仮定したときに矛盾が生じる

ということは

(an+1)=3　となる自然数は存在しない　ということになります。