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【難しい‼数列・・】

第3項が8、第10項が29の等差数列{an}の初項をa、公差をdとする。 (1)a、dの値を求めよ。 (2)Σ(k=1~n)2^akをnの式で表せ。 (3)an≦200であり、an/2が自然数であるanの総和Sを求めよ。 (2)からどうしたらよいのでしょうか…

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  • 回答No.2
  • asuncion
  • ベストアンサー率33% (1944/5844)

とりあえず(1)から。 8=a+2d 29=a+9d より、d=3,a=2 a[n]=3(n-1)+2=3n-1 (2) b[k]=2^(3k-1)とおく。 数列{b[k]}は、初項4、公比8の等比数列。 与式は、初項4、公比8の等比数列の第1項~第n項の和を求めることに等しい。 Σ(k=1~n)b[k] =4・{(8^n)-1}/(8-1) =(4/7){(8^n)-1} (3) 3n-1≦200より、n≦67 (3n-1)/2が自然数となるためには、nが奇数であることが必要。 求める和Sは、数列{3n-1}の、第1項、第3項、第5項、...、第65項、第67項の和に等しい。 数列{3n-1}の、第1項、第3項、第5項、...、第65項、第67項からなる数列は、 初項a[1]=2、公差=a[3]-a[1]=6、末項=a[67]=200、項数=34 S=(1/2)・項数・(初項+末項)=(1/2)・34・(2+200)=3434

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その他の回答 (6)

  • 回答No.7
  • ferien
  • ベストアンサー率64% (697/1085)

ANo.5です。訂正です。 >(3)an≦200であり、an/2が自然数であるanの総和Sを求めよ。 anの総和Sを求めるだから、やっぱり、 >数列anの1,3,…,67項を書き並べると、 >2,8,14,……,200より、初項2,公差6の等差数列 >総和S=(1/2)×34×(2+200)=3434 でお願いします。済みません。

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  • 回答No.6
  • ferien
  • ベストアンサー率64% (697/1085)

ANo.5です。以下のように訂正お願いします。 >an=3n-1≦200より、3n≦201 よって、n≦67 不等号の向きが逆でした。

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  • 回答No.5
  • ferien
  • ベストアンサー率64% (697/1085)

>第3項が8、第10項が29の等差数列{an}の初項をa、公差をdとする。 >(1)a、dの値を求めよ。 an=a+(n-1)dより、 a3=a+2d=8 a10=a+9d=29 連立で解いて、a=2,d=3 >(2)Σ(k=1~n)2^akをnの式で表せ。 ak=2+(k-1)・3=3k-1より、 2^ak=2^(3k-1) =2^(-1)・2^3k =2^(-1)・(2^3)^k =2^(-1)・8^k =2^(-1)・8・8^(k-1) =4・8^(k-1)  だから、初項4,公比8の等比数列 Σ(k=1~n)2^ak=4・(8^n-1)/(8-1) =(4/7)(8^n-1) >(3)an≦200であり、an/2が自然数であるanの総和Sを求めよ。 an=3n-1≧200より、3n≧201 よって、n≧67 an/2=(1/2)(3n-1)より、これが自然数であるためには、 3n-1が偶数であればよく、従ってnが奇数であれば良い。 だから、1,3,5,……,67項までの総和を求めれば良い。 項の数字は奇数だから、2k-1=67とおくと、項数k=34 数列an/2の1,3,…,67項を書き並べると、 1,4,7,……,100より、初項1,公差3の等差数列 総和S=(1/2)×34×(1+100)=1717 になりました。

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  • 回答No.4

(1)an=a+(n-1)d a+2d=8 a+9d=29 d=3 a=2 an=2+3(n-1)=3n-1 (2)Σ(k=1~n)2^ak=Σ(k=1~n)2^(3k-1)=Σ(k=1~n)8^k/2=8(8^n-1)/(8-1)/2 =4(8^n-1)/7 (3) an=3n-1<=200 n<=67 (1)   an/2:自然数    anは偶数、 an=3n-1が偶数のためにはnは奇数,(1)よりn=1,3,...67   n=2m-1とおくとm=1,2,3,....34   an=a(2m-1)=3(2m-1)-1=6m-4     S=Σ(m=1~34)(6m-4)=(2+200)×34/2=3434

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  • 回答No.3
  • asuncion
  • ベストアンサー率33% (1944/5844)

あれ? (2)で、2^akと書いてあるのは、数列{a[k]}の一般項(つまり3k-1)の話ではなく (2^初項)・k、ということなんでしょうか? 私はてっきり、2^(3k-1)のことかと思ってしまいましたが、別の話でしょうか。

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質問者からの補足

数列{ak}の一般項であってます* ありがとうございます^^*

  • 回答No.1
  • masssyu
  • ベストアンサー率39% (29/74)

(1) 8=a+2d と 29=a+9d より d=3 a=2 (2) 2^a=2^2=4 つまり Σ(k=1~n)4k をもとめればいいということになります Σ(k=1~n)k=n(n+1)/2 なので 答えは 4*n(n+1)/2=2n(n+1) (3) 2+(n-1)*3≦200 より n-1≦198/3 n≦66+1=67 となり 第67項までで条件を満たす数の総和を求めることになります。 ここで an/2 が自然数ということは、同時に an は偶数だということがわかります。 {an}=2 5 8 11 14 17 20 23 ・・・ というように奇数項を足していけば答えになります。 第67項までに奇数項は34回あります。つまり第34項まで 奇数項だけを見ると、初項2 末項=2+66*3=200 だということがわかります。 なので S=34*(2+200)/2=3434 となります

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