数列の証明について

質問

数列の証明について質問です。
lim(n→∞){2(a_n+1)-a_n}=A・・・(1)
ならば、lim(n→∞)a_n=Aが成り立つことを示せという問題です。

私はlim(n→∞)a_n=Bとおいて
lim(n→∞)a_n+1=lim(n→∞)a_n　という事を使い、
(1)の左辺がBとなることより
B=Aを示しました。
しかし、私の回答では、lim(n→∞)a_nが収束する事を証明してないので、lim(n→∞)a_n=Bと置くのはダメみたいです。
(1)が成り立つとき、lim(n→∞)a_nが収束することの証明をお願いします。

回答No.2

Tacosan

ちょっと考えてみましたが, #1 でいわれるように ε-δ (つまり lim の定義) に戻れば証明できるような気がします.
(1) から
任意の ε>0 に対してある定数 M が存在し, すべての n ≧ M に対して |2a_(n+1) - a_n - A| < ε
です. これは
a_n/2 + A/2 - ε/2 < a_(n+1) < a_n/2 + A/2 + ε/2
と等価で, さらに展開していくと
a_M+/2^k + A(1 - 1/2^k) - ε(1 - 1/2^k) < a_(M+k) < a_M/2^k + A(1 - 1/2^k) + ε(1 - 1/2^k)
となります (あってるかな?). ここで全体から A を引くと
a_M/2^k - A/2^k - ε(1 - 1/2^k) < a_(M+k) - A < a_M/2^k - A/2^k + ε(1 - 1/2^k) [※]
です.
ここで, 最終的に示したいのは
任意の ε'>0 に対して M' が存在し, すべての n ≧ M' に対し
|a_n - A| < ε'
です. [※] から
|a_(M+k) - A| < |a_M/2^k| + |A|/2^k + ε(1-1/2^k)
が言えますから, この 2つの式を比較して ε' から適切に ε や k を与えればよいということになります.
... なんというか, 誘導するより自分で書いた方が楽だなぁ (苦笑)

補足

回答ありがとうございます。
やってる事はとても理解しやすかったです。
三角不等式を用いて
|a_(n+1)|<ε/2+|a_n/2+a/2|
まで変形はできました。
しかし、
a_n/2 + A/2 - ε/2 < a_(n+1) < a_n/2 + A/2 + ε/2
の形にできませんでした。
他は大変分かりやすかったです。
ありがとうざいました。

回答No.1

rabbit_cat

＞(1)が成り立つとき、lim(n→∞)a_nが収束することの証明をお願いします。
この証明をすることは、つまり、lim(n→∞)a_n=A を示すことになると思います。
大学生なんだと思いますが、収束することを、きちんとε-δで表わしてみればいいのでは。

補足

回答ありがとうございます。
確かに、lim(n→∞)a_n=Aとなります。
それは、lim(n→∞)a_nが存在すると仮定して解いた結果、Aとなるだけで、Aが収束することの証明はしてないのではないでしょうか？証明のやりかたがあるのでしたら、回答をお願いします。
これは、関数でないのでε-δ論法は使わないで良いみたいですね・・・
回答に質問してしまい、すいませんでした＞＜