上極限に関する証明

質問

実数βがlimsup_(n→∞)a_nと一致するための必要十分条件は、
「∀ε＞０に対して、｛n;a_n≧β＋ε｝は有限集合で、｛n;a_n＞βーε｝は無限集合である。」
であることを証明したいのですが、うまく証明できません。
上極限の定義からすぐわかるということが書いてあり、なんとなく言っていることがわからなくもないのですが、実際に証明をつけるとなると、どのように書けばよいのかわかりません。

回答よろしくお願いします。

回答No.2

kabaokaba · ベストアンサー

こういう同値な条件があるんだと思いましたが，
上極限の定義としては
inf_{nは自然数} sup_{k>=n} a_k
を採用することにして
証明は，まさに上極限と上限・下限の定義を
素直に適用すればいいだけです．
無限集合とは「有限集合ではない」という定義と
自然数の有限部分集合には最大値があるといった
よく使う論法，そして
εδでよく使う類の不等式を組み合わせるのです．

お礼

回答ありがとうございます。
下極限のほうが先に証明できたので見ていただきたいのですが・・・

「α=liminf_{n→∞}a_n⇔∀ε＞０.{n;a_n≦α－ε}：有限集合.{n;a_n＜α＋ε}：無限集合」を示す。
〈証明〉
有界数列{a_n}_{n=1,2,…}に対して、A_{m+n}={a_m+1,a_m+2,…,a_m+n,…}、α_m=infA_{m+n}(n≧１)とおく。
αは{α_m}の上限であるから、m_0(ε)が定まって、
m＞m_0(ε)の時、α－ε＜α_m≦α
となっているが、α_m=infA_{m+n}すなわちα_m=inf_{n＞m}a_n
であるから、n＞m⇒a_m≧α_m＞α－ε
言い換えれば、a_n≦α－ε⇒ｎ≦ｍ
よって、{n;a_n≦α－ε}は有限集合である。
また、各ｍに対して、ｎ＞ｍ、a_n＜α_m+εなるa_nが存在する。
よって、a_n＜α＋εなる項a_nは無数にある。
ゆえに、{n;a_n＜α＋ε}は無限集合である。

…この証明、正しいですか?
間違いの指摘等をしてくださると助かります。
よろしくお願いします。

回答No.1

Ae610

「∀ε＞０に対して、｛n;a_n≧β＋ε｝は有限集合・・・？
不等号の向き合ってますか・・・？

補足

回答ありがとうございます。

不等号の向きは間違いありません。。。