上限の和

質問

limsup[n→∞](a_n+b_n)≦limsup[n→∞]a_n+limsup[n→∞]b_n
を証明せよ。ただし不定形の場合は除くとする。

この問題ですが、

a_n=(-1)^n , b_n=(-1)^(n+1)　の場合、
a_n+b_nの上極限0
上極限の和2

となり成り立つことは予想できるんですが、εやNなどを使ってどのように書けばいいのか、悩んでいます。
教えてください。

回答No.2

muturajcp · ベストアンサー

上極限の定義)
(i)∀ε>0に対して→∃自然数n_0(∀自然数n>n_0→a_n<α+ε)
(ii)∀ε>0∀自然数nに対して→∃自然数m{(m>n)&(α-ε<a_m)}
の時αを{a_n}の上極限といいlimsup[n→∞]a_n=αと書く

limsup[n→∞]a_n=α……………(1)
limsup[n→∞]b_n=β……………(2)
limsup[n→∞](a_n+b_n)=c……(3)
とする
c>α+βと仮定すると
c-α-β>0
c-α-β>ε>0となるεがある
α+β+ε<c…………………(4)
このε>0に対して
→ある自然数n_0が存在して
n>n_0となる任意のnに対して
↓(1),(i)から
↓a_n<α+ε/4………………(5)
↓(2),(i)から
↓b_n<β+ε/4………………(6)
↓(3),(ii)から
m≧n
c-ε/2<a_m+b_m………………(7)
となるmが存在する
m≧n>n_0だから(5)から
→a_m<α+ε/4………………(8)
(6)から
→b_m<β+ε/4………………(9)
↓(8)+(9),(4),(7)から
a_m+b_m<α+β+ε/2<c-ε/2<a_m+b_m
となって矛盾する
∴
c≦α+β
limsup[n→∞](a_n+b_n)≦limsup[n→∞]a_n+limsup[n→∞]b_n

回答No.1

stomachman

> a_n=(-1)^n , b_n=(-1)^(n+1)　の場合

を考えられるのであれば、話は終わったも同然でしょ。あとは単に、limsup[n→∞]a_n って一体何の事なのか、定義に戻ってみれば良いだけです。