limsup(sinN)=1？

質問

N:自然数
limsup(sinN)=1
を示すにはどうすればいいのでしょうか？
おそらく、1＋ε<sinNを満たすnは有限個(0個)が自明なので、1-ε>sinNを満たすNが無限個存在する、ということが分かれば上極限と同値となる性質が言えるのではないかと考えたのですが、実際どのように書けばよいのかが分かりません。

少ししらべて、
http://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~sasaki/003_sin.pdf#search='sinn+%E7%A8%A0%E5%AF%86'
のグラフを見る限りだと、Nを大きくしていって点を取っていくと、1-ε<c<1となる点cがさらに増え続けていくのだろう、と予想出来るので方針は合っていると思うのですが。

回答No.3

ramayana · ベストアンサー

sin(N) = sin(π/2 + 2π・(N/(2π) - 1/4))で、 N/(2π) - 1/4 が整数に近づくほど sin(N) が 1 に近づきます。 1/(2π) が無理数だから、下の命題１を示せば十分です。

以下、実数 x に対して、x を超えない最大の整数を Int(x) で表します。 Frac(x) = x - Int(x) とします。

命題１　γを正の無理数とする。 a を実数とする。εを正数とする。すると、Frac(γN - a) < ε となる正整数 N が無数に存在する。

命題１について、 a = 0 の場合について証明できれば、そのことを使って一般の a の場合に拡張するのは難しくありません（拡張方法は省略）。さらに、a = 0 の場合については、次の命題２を示せば十分です。

命題２　γを正の無理数とする。N を正整数とする。すると、M > N かつ Frac(γM) ≦ Frac(γN)/2 を満たす整数 M が存在する。

（命題２の証明）

α = Frac(γN) とする。γN が無理数だから、 α ≠ 0 である。そこで、t = Int(1/α) と置く。次のことは容易に確かめられる。

　　Frac(γtN) = tFrac(γN)
　　Frac(γ(t+1)N) = (t+1)Frac(γN) -1

すると、

　　(1 - Frac(γtN)) + Frac(γ(t+1)N) = Frac(γN))

となる。よって、1 - Frac(γtN) と Frac(γ(t+1)N) のどちらかは、Frac(γN)/2 以下である。もし、前者なら、s = Int(1/(1 - Frac(γtN))) として、M = stN とすればよい。後者なら、M = (t+1)N とすればよい。

（命題２の証明終わり）

回答No.2

uyama33

トーラスの中で、y=πx のグラフが稠密になると
葉層のトポロジー
と言う本に書いてあった。
これが使えませんか？

回答No.1

Tacosan

π が無理数であることを使わないとダメじゃないじゃかな.

「無理数」でいいのか「超越数」まで必要なのかはわからんけど.