ε-Ｎ論法

質問

(a)→(b)の証明はできたのですが、(b)→(a)の証明ができません。誰か教えてください。

f(x)はI=(a,b)で定義された単調増加関数｛xn｝は、a<x1<x2<・・・<xn<xn＋1<・・・<b　,limxn=b (n→∞)を満たす数列とする。このとき、以下の二つは同値である。
(a) f(I)は上に有界である
(b)有限な極限値limf(xn) (n→∞)が存在する。

回答No.1

tinantum · ベストアンサー

(b)が成立するとし，
limf(xn) (n→∞) = M < ∞
とします．
ε-Ｎ論法で書くと，
「任意のε>0に対し，ある自然数n0が存在し，n≧n0を満たす任意の自然数nに対して，|f(xn)-M|<ε」… (1)
εは文字通り任意ですので，例えばε=1とかに固定します．
(1)より，やはりある自然数n0が存在し，
n≧n0を満たす任意の自然数nに対して，|f(xn)-M|<1
が成立します．
よって，任意のn≧n0に対しては，
f(xn)<1+M
が成立するので，
任意のnに対しては
f(xn)≦ max[1+M,x1,x2,…,xn0] < ∞
となって，数列f(xn)が上に有界であることがわかります．

さて，任意のx∈(a,b)に対して，lim xn=b ですから，ある
nが存在して，x≦xnなります．ｆは単調増加関数ですから，
f(x)≦f(xn) < ∞
となり，fはI=(a,b)上で，上に有界であることが示されました．

お礼

ありがとうございます。とてもわかりやすくてたすかりました。本当にありがとうございました。