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f:R^n→R^mの導関数の定義式は?

n=m=1の時なら lim[h→0]|f(x+h)-f(x)|/|h| が導関数の定義ですがf:R^n→R^mの場合には導関数の定義式はどのように書けるのでしょうか? n Σ(lim[hi→0]|f(x1,x2,…,xi+hi,…,xn)-f(x1,x2,…,xn)|/|hi|) i=1 では間違いでしょうか?

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n=m=1ならわざわざ微分を行列にして、 難かしくしなくても良いです (考えてもよいけどどんな意味が?)。 つぎに2番目ですがこれはn=3,m=1の例になります。 すなわち、多変数ではありますが実数値関数です。 すると f(x,y,z)=x^2+y^3+z^4ならfの導関数は (∂f/∂x ∂f/∂y ∂f/∂z)=(2x 3y 4z) の横ベクトル、(1,3)行列になります。 つぎに一般の場合、ベクトル関数(R^mの関数)を f=t(f1,f2,.,fm)とすれば(tは転置行列) この微分は |∂f1/∂x1 ∂f1/∂x2 ...... ∂f1/∂xn| |∂f2/∂x1 ∂f2/∂x2 ...... ∂f2/∂xn| |    .........      | |∂fm/∂x1 ∂fm/∂x2 ...... ∂fm/∂xn| となります。 上記の表現で||は行列のカッコを意味します。

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質問者からのお礼

ご回答誠に有難うございます。 > f(x,y,z)=x^2+y^3+z^4ならfの導関数は > (∂f/∂x ∂f/∂y ∂f/∂z)=(2x 3y 4z) > の横ベクトル、(1,3)行列になります。 そうしますと、 点(1,2,3)でのf(x,y,z)=x^2+y^3+z^4の微分係数は (2,6,12)となりますよね。 これは何を表しているのでしょうか? 恐らく、(2,6,12)は点(1,2,3)における接平面の「傾き」を意味していると推測します。 そう言えば平面ax+by+cz+d=0での「傾き」とはどう表せるのか習いませんでした。 (直線y=ax+bならの「傾き」はaだという事は知っていますが) 平面ax+by+cz+d=0での「傾き」はどのように表せれるのでしょうか?

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  • 回答No.3

おっしゃるとおり、微分を多変数ベクトル関数に 拡張するとき、接線に対応して接平面のイメージ があったのではないでしょうか? 本論とずれてきたようです。あとは幾何学の本などで 勉強されると良いでしょう。 蛇足。 (∂f/∂x ∂f/∂y ∂f/∂z)は grad f などとも書かれ 傾きを表していますが当然、傾きの値としては方向により 異なります。 平面ax+by+cz+d=0に「傾き」という概念があったか覚えていませんが 平面を表す量としては法線ベクトルがあったと思います。

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質問者からのお礼

>があったのではないでしょうか? さようでございます。 > つぎに2番目ですがこれはn=3,m=1の例になります。 map f:R^3→R^1 ですね。 > すなわち、多変数ではありますが実数値関数です。 > すると > f(x,y,z)=x^2+y^3+z^4ならfの導関数は > (∂f/∂x ∂f/∂y ∂f/∂z)=(2x 3y 4z) > の横ベクトル、(1,3)行列になります。 そうでしたか。定義域の変数数が列数、値域の変数数が行数に相当するわけですね。 > つぎに一般の場合、ベクトル関数(R^mの関数)を > f=t(f1,f2,.,fm)とすれば(tは転置行列) > この微分は > |∂f1/∂x1 ∂f1/∂x2 ...... ∂f1/∂xn| > |∂f2/∂x1 ∂f2/∂x2 ...... ∂f2/∂xn| > |    .........      | > |∂fm/∂x1 ∂fm/∂x2 ...... ∂fm/∂xn| > となります。 つまり、map f:R^n→R^mという写像なのですね。 例えば、写像fがf(t(x,y))=t(x^2+y,2x-y^3,x+y)というR^2→R^3 ならfの導関数は ∂(x^2)/∂x ∂(x^2)/∂y ∂(2x-y^3)/∂x ∂(2x-y^3)/∂y ∂(x+y)/∂x ∂(x+y)/∂y = 2x 0 2 -3y^2 1 1 という3×2行列になるのですね。 > 蛇足。 > (∂f/∂x ∂f/∂y ∂f/∂z)は grad f などとも書かれ > 傾きを表していますが当然、傾きの値としては方向により > 異なります。 > 平面ax+by+cz+d=0に「傾き」という概念があったか覚えていませんが > 平面を表す量としては法線ベクトルがあったと思います。 有難うございます。 参考になります。

  • 回答No.1

n=m=1の時なら lim[h→0]{f(x+h)-f(x)-Ah}/h=0 が導関数Aの定義(の1つ)です。 同様に多変数ベクトル値関数の場合も lim[h→0]{f(x+h)-f(x)-Ah}/|h|=0 となります。Aは行列で表されます (微分可能なら要素は∂fi/∂xj)。 詳しくは多変数関数の微積分あるいはフレシェの微分 を見て下さい(私の知識の範囲外)。 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B7%9A%E5%BD%A2%E8%BF%91%E4%BC%BC

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質問者からのお礼

ご回答大変有難うございます。 > n=m=1の時なら >lim[h→0]{f(x+h)-f(x)-Ah}/h=0 > が導関数Aの定義(の1つ)です。 f(x)=ax+bならAは1×1行列で(∂f1/∂x1)=(df1/dx1) (∵1変数) =(df/dx) (∵1変数) =(d(ax+b)/dx) =(a) となるのですね。 > 同様に多変数ベクトル値関数の場合も > lim[h→0]{f(x+h)-f(x)-Ah}/|h|=0 > となります。Aは行列で表されます > (微分可能なら要素は∂fi/∂xj)。 そうしますと、例えば f(x,y,z)=x^2+y^3+z^4ならfの導関数は ∂(x^2+y^3+z^4)/∂x ∂(x^2+y^3+z^4)/∂x ∂(x^2+y^3+z^4)/∂x ∂(x^2+y^3+z^4)/∂y ∂(x^2+y^3+z^4)/∂y ∂(x^2+y^3+z^4)/∂y ∂(x^2+y^3+z^4)/∂z ∂(x^2+y^3+z^4)/∂z ∂(x^2+y^3+z^4)/∂z という3×3行列で 2x  2x  2x 3y^2 3y^2 3y^2 4z^3 4z^3 4z^3 という行列がf(x,y,z)=x^2+y^3+z^4の導関数になるのですかね。 勘違いしておりましたらご指摘頂ければ幸いでございます。

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