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解析学の連続関数?の問題でこまっています

教えていただきたいのは、以下の問題です。 f[a,b]→Rが [a,b] 上連続で、f の取る値がすべて有理数ならば f は定数関数になることを示せ ヒント:中間値の定理 f[a,b]→Rが[a,b]上で連続とすると、fはf(a) とf(b)の中間の値をすべて取る 有理数の稠密性  任意の実数 x と任意のε>0に対しある有理数 q で|x-q|<εを満たすものが存在する よろしくおねがいします。

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ある実数a、bに対してf(a)<f(b)であると仮定します このときf(a)<f(b)の間にある無理数cが存在します。 (たとえばf(a)-√2とf(b)-√2の間にある有理数をとってきてやり(有理数の稠密性)それをrとすれば√2+rが間にある無理数となりまっす) 今中間値の定理によってある実数dが存在してf(d)=cとなります。 しかしこれはfのとる値がすべて有理数であるということに反します。 よってすべての実数a,bに対してf(a)=f(b)となるのです QED

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質問者からのお礼

ありがとうございます。 じっくり目を通させていただきます。m(_ _)m

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>解析学の連続関数?の問題でこまっています どう困っているのかがわかりません。補足にどうぞ

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質問者からの補足

問題にどう手をつければいいか分からなくてこまっています、ということです。 すみません。

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