連続関数について

質問

ｙ＝ｆ（ｘ）なる実数全体で定義された実数値関数を考えます。このとき、
ｘが有理数の時、ｆ（ｘ）は無理数であり、
ｘが無理数の時、ｆ（ｘ）は有理数となるような連続関数ｙ＝ｆ（ｘ）は存在するのでしょうか。

回答No.1

tetrahedron256 · ベストアンサー

存在しません。

そのような f が存在したと仮定すると、f は明らかに定値写像ではないからある x,y (x<y) が存在して f(x)≠f(y) を満たす。
f(x)<f(y) として一般性を失わない。中間値の定理から f([x,y])⊃[f(x),f(y)] である。
ここで [x,y] に属する有理数全体の集合は可算であることと f の性質から、 f([x,y]) に属する無理数全体の集合は高々可算。
一方 [f(x),f(y)] に属する無理数全体の集合は非可算。
これは矛盾である。

お礼

ものすごくわかりやすい回答、ありがとうございました。