関数の証明なんですが

質問

この証明が全くわかりません。わかる方がいればぜひ教えていただければと思います。

問　関数 f : [0,1]→Ｒ（実数） は連続であり、有理数x∈[0,1] に対しては f(x)=0　とする。
このときあらゆるx∈[0,1]に対してf(x)=0 であることを証明せよ。

宜しくお願いします。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

「連続ならば次が成り立つ」では必要性しか言ってないので、
「連続とは次が成り立つことである」と必要十分性を言わないと
定義になりませんが…。まあ、細部は確認しといてください。

関数の連続性をそう定義したのであれば、数列の収束についても、
「任意の ε>0 に対して、次を満たす自然数 N が存在する。
自然数 k が k>N を満たす ⇒ |a_k - α|<ε」と定義してある
はずです。いわゆるεδ論法というやつですね。

これらの定義に照らして、数列 a_k が lim[n→∞] a_k = b で、
関数 f(x) が x = b で連続であれば…
任意の γ>0 に対して、次を満たす自然数 N が存在する。
自然数 k が k>N を満たす ⇒ |a_k - b|<γ。
任意の ε>0 に対して、次を満たす γ>0 が存在する。
x が |x - b|<γ を満たす ⇒ |f(x) - f(b)|<ε。
…が成り立ちますから、x = a_k の場合を考えれば、
任意の ε>0 に対して、次を満たす自然数 N が存在する。
自然数 k が k>N を満たす ⇒ |f(a_k) - f(b)|<ε。
…が言えたことになる。すなわち、lim[n→∞] f(a_k) = f(b) です。

お礼

わかりました。
わかりやすい解説ありがとうございます。

回答No.1

alice_44

証明は、関数の連続性の定義に依存するので、
貴方が習っている解析学の教程により異なります。
どのように定義するとしても、補題として、
[1] 関数 f(x) が x = b で連続で、かつ、
lim a_n = b であれば、lim f(a_n) = f(b)
は、証明できると思います。
[2] 任意の実数 b について、
b へ収束する有理数列が存在する
ことも容易に示せますから、併せると
題意が示されます。
[2]の証明としては、そのような有理数列として
b の小数表示を小数第n位で切り捨てた数
を第n項とする数列が挙げられます。
[1]の証明を見せて欲しければ、
貴方の教程での「関数の連続」の定義を
補足に書いてください。

補足

丁寧にありがとうございます。
ぜひ[1]の証明も見せていただきたいです。
「関数の連続」の定義は以下のようになっています。

　　　I⊂Ｒ（実数）上の関数 f :I→Ｒとα∈I に対し
　　　fがαで連続ならば次が成り立つ。
　　　任意のε>0に対して、次を満たすδ>0が存在する。
　　　「x∈I が|x-α|<δを満たす⇒|f(x)-f(α)|<ε」

これが連続の定義です。
ぜひよろしくお願いします。