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微積 証明
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「任意の実数rに対し、rに収束する有理数列が存在する」ということを示せばよいと思います。（有理数列とは、どの項も有理数な数列のことです。）これがあれば直接証明できます。 ｆが連続のとき、（任意の）収束する数列 a_n に対し、 Limｆ(a_n)=f(Lim a_n) が成立したと思います。 （a_nをそれぞれfで写すことによってできる数列の極限は、a_nの極限のところのｆの値に一致ということ。色々記号を省略してますがご勘弁を） 二つの関数が等しいというのは、定義域のどの要素に対しても、そこでの値が一致するということ。ここでは、任意の実数rに対し、f(r)=g(r)となることを示せば良いということになります。 rに収束する有理数列 a_n をとります。即ち、Lim a_n =r かつ、任意の自然数nについて、a_n は有理数。先の議論より ｆ(r)=f(Lim a_n)=Lim f(a_n) =Lim g(a_n) (有理数についてはfとgは同じ値) =g(Lim a_n) (gが連続より) =g(r) 二段目のところは、各項が同じなので、その極限も一致するということです。（全く同じ数列になるから） なので、問題なのは一番最初に書いたことをどう証明するか、です。（連続関数のところの主張もですが）多分、有理数全体が稠密になっていることと同値だと思います。これは実数をどのように定義しているかによると思います。授業などでこういったことがすでに証明されているのなら、遠慮なく使っても良いと思いますが。
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- rabbit_cat
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「f:Ｒ→Ｒ」という表記 これは、ｆは実数全体を実数全体に写す関数という意味です。 つまり、定義域が(-∞,∞)、値域も(-∞,∞)ということです。 あれ、もしかしたら、値域は(-∞,∞)じゃなくて、その部分集合でもいいのかもしれません。。 問題の証明は、実数の連続性とか、連続関数というのをどう習ったかによりますが、 多分、簡単に証明には、背理法で証明するんですかね。 f≠g となるような実数があったとして、関数の連続性と、有理数の稠密性から、「任意のp∈Ｑに対してf(p)=g(p)」と矛盾する、ていうのを言えばいいのでは。
お礼
お返事ありがとうございます。 なるほど背理法ですか。 関数の連続性と有理数の稠密性がからむのはわかるんですが、 どれをどう使って表せばいいのかわからないんです(汗
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お礼
settheoryさん、ありがとうございました。 有理数の稠密性についてはちゃんと習っています。 受験のときもそうでしたけど問題文の読み替えですかね。 rabbit_catの背理法でも考えて大学数学のキャパを広げていきたいです。