ある区間での関数の連続性を示すためには？

質問

閉区間[0,1]上で定義された実数値関数fは、次の二つを満たす
(1)任意の実数a,b、ただし0≦a≦b≦1に対し、集合{f(y)|a≦y≦b}は、区間{f(a),f(b)}または{f(b),f(a)}を含む。
(2)任意の実数cに対し、区間[0,1]に含まれるf(x)=cとなるような実数x全体の集合は閉集合（空集合もありうる）となる

このとき、fが区間[0,1]で連続であることを示したいのですが

まず、連続性を証明する方法をよく知りません。
ε-δ論法が連続性を示す方法の一つだということを聞きましたが、大学一回生のときの授業で習っていないのであまりよくわかっていません。これは、ε-δ論法を使って証明するのでしょうか？

他には、教科書を見直したところ、中間値の定理の逆（当然成り立ちませんが）に似ているので、そのあたりを使うのかとも思ったのですが。。。

ヒントになりそうなホームページや、アドバイスを頂けたら幸いです

回答No.2

ringohatimitu · ベストアンサー

ε-δで以下のように示せます；
まずある点ｘで連続でないと仮定します。そのときε＞０に対してｘに収束する点列{x(j)}⊂[0,1]でf(x)+ε＜f(x(j))∀ｊまたはf(x)-ε＞f(x(j))∀ｊを満たすものが存在します。ここではf(x)+ε＜f(x(j))∀ｊとしておきます。さらにx＜x(j)としても一般性を失いませんのでそうしておきます（そうじゃないときは同じ方法で簡単に示せます）。この下で矛盾を導きます。
条件（１）よりf([x,x(j)])は区間[f(x),f(x(j))]を含むので特に仮定より[f(x),f(x)+ε]を含みます。すなわちすべてのｊに対してf([x,x(j)])⊃[f(x),f(x)+ε]です。したがってc∈(f(x),f(x)+ε)をとったとき各ｊに対してある点y(j)∈(x,x(j)]が存在してf(y(j))=cとなります。さてx(j)のとり方より明らかにy(j)はｊ→∞でｘに収束します。条件（２）からf(z)=cとなるｚ全体は閉集合で今の場合各y(j)が含まれますから空集合ではありません。したがってy(j)の収束先ｘもその集合に含まれなければらずf(x)=cとなります。これはｃ＞f(x)に矛盾しています。これよりｆの連続性が言えました。

お礼

最後にいきなり
>これはｃ＞f(x)に矛盾
と書かれていますが、

ｃ＞f(x)という部分は、
f(y(j))＝ｃ
y(j)∈(x,x(j)]
となり、y(j)はxを含んでいないし、f(x)＜f(x(j))という関係（仮定）もあるので、
f(x)＜f(y(j))　（＝ｃ）
となる。

ということで言えるんですよね・・・？

ひょっとしたら、物凄く頓珍漢なことを質問しているかもしれませんが。。。

回答No.3

ringohatimitu

そうです。ｃの取り方より矛盾となるわけです。

お礼

ありがとうございましたペコリ(o_ _)ｏ))

回答No.1

sunasearch

下記などが、参考になりますでしょうか。

http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/calcmulti/node11.html

お礼

ありがとうございますm(_ _"m)ペコリ

そのサイトは一度見たんですが、ある区間での連続性についての証明方法が少なく、どう用いていいかよくわかりませんでした；；