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ある区間での関数の連続性を示すためには?

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お礼率 82% (32/39)

閉区間[0,1]上で定義された実数値関数fは、次の二つを満たす
(1)任意の実数a,b、ただし0≦a≦b≦1に対し、集合{f(y)|a≦y≦b}は、区間{f(a),f(b)}または{f(b),f(a)}を含む。
(2)任意の実数cに対し、区間[0,1]に含まれるf(x)=cとなるような実数x全体の集合は閉集合(空集合もありうる)となる

このとき、fが区間[0,1]で連続であることを示したいのですが


まず、連続性を証明する方法をよく知りません。
ε-δ論法が連続性を示す方法の一つだということを聞きましたが、大学一回生のときの授業で習っていないのであまりよくわかっていません。これは、ε-δ論法を使って証明するのでしょうか?

他には、教科書を見直したところ、中間値の定理の逆(当然成り立ちませんが)に似ているので、そのあたりを使うのかとも思ったのですが。。。

ヒントになりそうなホームページや、アドバイスを頂けたら幸いです
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.2
レベル11

ベストアンサー率 59% (111/187)

ε-δで以下のように示せます;
まずある点xで連続でないと仮定します。そのときε>0に対してxに収束する点列{x(j)}⊂[0,1]でf(x)+ε<f(x(j))∀jまたはf(x)-ε>f(x(j))∀jを満たすものが存在します。ここではf(x)+ε<f(x(j))∀jとしておきます。さらにx<x(j)としても一般性を失いませんのでそうしておきます(そうじゃないときは同じ方法で簡単に示せます)。この下で矛盾を導きます。
条件(1)よりf([x,x(j)])は区間[f(x),f(x(j))]を含むので特に仮定より[f(x),f(x)+ε]を含みます。すなわちすべてのjに対してf([x,x(j)])⊃[f(x),f(x)+ε]です。したがってc∈(f(x),f(x)+ε)をとったとき各jに対してある点y(j)∈(x,x(j)]が存在してf(y(j))=cとなります。さてx(j)のとり方より明らかにy(j)はj→∞でxに収束します。条件(2)からf(z)=cとなるz全体は閉集合で今の場合各y(j)が含まれますから空集合ではありません。したがってy(j)の収束先xもその集合に含まれなければらずf(x)=cとなります。これはc>f(x)に矛盾しています。これよりfの連続性が言えました。
お礼コメント
shion121

お礼率 82% (32/39)

最後にいきなり
>これはc>f(x)に矛盾
と書かれていますが、

c>f(x)という部分は、
f(y(j))=c
y(j)∈(x,x(j)]
となり、y(j)はxを含んでいないし、f(x)<f(x(j))という関係(仮定)もあるので、
f(x)<f(y(j)) (=c)
となる。

ということで言えるんですよね・・・?


ひょっとしたら、物凄く頓珍漢なことを質問しているかもしれませんが。。。
投稿日時 - 2005-08-11 19:12:56

その他の回答 (全2件)

  • 回答No.3
レベル11

ベストアンサー率 59% (111/187)

そうです。cの取り方より矛盾となるわけです。
お礼コメント
shion121

お礼率 82% (32/39)

ありがとうございましたペコリ(o_ _)o))
投稿日時 - 2005-08-12 19:51:41
  • 回答No.1
レベル13

ベストアンサー率 35% (632/1788)

下記などが、参考になりますでしょうか。

http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/calcmulti/node11.html
お礼コメント
shion121

お礼率 82% (32/39)

ありがとうございますm(_ _"m)ペコリ

そのサイトは一度見たんですが、ある区間での連続性についての証明方法が少なく、どう用いていいかよくわかりませんでした;;
投稿日時 - 2005-08-11 02:48:56
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