一様連続の証明について

質問

お世話になります。よろしくお願いします。

定理：『閉区間〔a,b〕で定義された連続関数は一様連続である。』
の証明についてなのですが、

以下のサイトの命題４、１を見てください。

http://www.google.co.jp/search?hl=ja&safe=off&q=%E4%BA%95%E4%B8%8A%E6%B7%B3%E3%80%80%E4%B8%AD%E9%96%93%E8%A9%A6%E9%A8%93%E3%80%80%E8%AC%9B%E7%BE%A9%E5%86%85%E5%AE%B9%E3%80%80%E6%96%B0%E3%81%97%E3%81%84%E5%B9%B4&btnG=%E6%A4%9C%E7%B4%A2&lr=

この証明は私の使っている参考書「微分積分学　難波誠　裳華房」
と同じやり方の証明なのですが、全く意味が分からずに困っています。

上の証明を自分なりに解釈すると、

『定理が成り立たないとすると
あるε>0が存在して、どのようなδ>0に対しても｜x-y｜<δ
かつ｜f(x)-f(y)｜≧ε　を満たすx、y∈〔a,b〕となるx、yが存在する。

この時ｃ∈〔a,b〕とすると
lim(x,y→ｃ)｜f(x)-f(y)｜＝0なので
これは｜f(x)-f(y)｜≧ε＞0に矛盾するので、定理が証明された。』

としているように見えるのですが・・・。
これでは違うのでしょうか？

質問が分かりづらいかと思うのですが、よろしくお願いします。

回答No.1

koko_u_

>定理が成り立たないとすると
>あるε>0が存在して、どのようなδ>0に対しても｜x-y｜<δ
>かつ｜f(x)-f(y)｜≧ε　を満たすx、y∈〔a,b〕となるx、yが存在する。

まず上記言明の x, y が δに依存して決まることを明確にしましょう。
それを踏まえた上で、

>この時ｃ∈〔a,b〕とすると
>lim(x,y→ｃ)｜f(x)-f(y)｜＝0なので

の意味がまったくもって不明です。
c は何処からやってきたのですか？
x, y → c とはどんな意味ですか？

補足にどうぞ。
そして、補足が必要となるような証明ではダメです。

補足

ご回答どうもありがとうございます。

補足を考えているうちに疑問点が明確になってきましたので
新たに質問し直すことにしました。

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3990289.html?ans_count_asc=20

よろしければ上のページで引き続きよろしくお願いいたします。