関数の連続、微分、接線、積分

質問

関数の連続や微分可能な関数などについての理解があいまいなのですが、以下の文章に間違いがあったら指摘くださいますか？

左右両方からxがaに接近するときの微分係数が一致したら、x=aで微分可能
x=aで微分可能ならx=aで連続。　
微分可能で直線じゃないならその点においての接線がある。
微分不可能な点では接線は存在しない。
積分は連続している範囲でできる。
連続していない範囲では積分できない。
連続は（数学的じゃないですが）一筆書きでかけるようなのを連続という。数学的にはイプシロンデルタ論法をつかうと思いますが今は省略します。
f(x)が範囲Mで微分可能ならf '(x)は範囲Mでさらに微分可能。これは何回でも可能で、多項式関数の場合は最終的に0になる。

たとえばf(x)=|x| はすべての実数において連続だがx=0で微分できない。

xが０にちかづくときプラスからでもマイナスからでもf(x)は0になりかつf(0)が０であるから連続
xが0に近づくときプラスからとマイナスからの接近による微分係数は順に1,-1なので、微分できない。微分できないのでx=0における接線は存在しない。

回答よろしくお願いします。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

>左右両方からxがaに接近するときの微分係数が一致したら、x=aで微分可能

これは正しくないですね。
「関数がx＝aで連続のとき」という条件を加えれば正しくなります。

反例１)
f(x)=cos(x)(x≠0), f(x)=0(x＝0)
で定義された関数はx=0で連続でないので左側微分係数と右側微分係数は一致しますが
x＝0で連続な関数でないのでx=0で微分可能ではないです。

反例２）
f(x)=sin(x)/x
で定義された関数は,x=0で左側微分係数と右側微分係数は一致しますが、関数そのものがx=0で未定義なのでx=0で微分できません。
f(x)=sin(x)/x (x≠0), f(x)=1(x＝0)
と定義してやればf(x)はx＝0で連続になり、左側微分係数と右側微分係数は一致するので、f(x)はx=0で微分可能になります。

>微分可能で直線じゃないならその点においての接線がある。
接線の定義を確認下さい。直線に接線はその直線と一致します。
正しくは「関数がx＝aで微分可能ならその点においての接線が一本存在する。」
この中に特別な場合として直線も含まれています。

>積分は連続している範囲でできる。
>連続していない範囲では積分できない。
この2つの表現は曖昧で不完全なのでこれだけでは正しいとも正しくないとも言えない。

>連続は一筆書きでかけるようなのを連続という。
適用領域の定義の仕方により異なります。
微分係数の領域ではちゃんと別の定義がありますので教科書で確認下さい。

>f(x)が範囲Mで微分可能ならf '(x)は範囲Mでさらに微分可能。
これは正しくない。数学では正しく無い場合が含まれていれば、正しい場合がほとんどでも、正しいと言えません。
反例１）
f(x)=x-(x+1)^4(x＜-1),f(x)=x(-1≦x≦1),f(x)=x+(x-1)^6(x＞1)で定義された
で定義された関数でM：{-2≦x≦2}で調べて見てください。
>これは何回でも可能で、
これは正しくないことが分かるでしょう。

>これは何回でも可能で、多項式関数の場合は最終的に0になる。
多項式（関数）については正しいでしょう。

お礼

回答ありがとうございます。
＞「関数がx＝aで連続のとき」という条件を加えれば正しくなります。
いいわけみたいですが、書き忘れてました。書いたり消したりしたので。。。少なくとも連続でなければ、微分できないって言うことですよね？

＞接線の定義を確認下さい。直線に接線はその直線と一致します。
初耳でした。　ありがとうございました

>
>積分は連続している範囲でできる。
>連続していない範囲では積分できない。
この2つの表現は曖昧で不完全なのでこれだけでは正しいとも正しくないとも言えない。

f(x)が範囲[a,b]で連続しているときa≦p≦q≦bとして、f(x)はp~qで積分できるという意味です。
またもしf(x)がx=αで連続していなかったら、a<α<bとしてf(x)はa~bでは積分できないという意味です。ぼくなりに丁寧に書いたつもりですが、これでもあいまいでしたら再度ご指摘お願いします。　

＞適用領域の定義の仕方により異なります。
＞微分係数の領域ではちゃんと別の定義がありますので教科書で確認下さい。

デルタイプシロン論法のことでしょうか？それなら一応大まかな理解はしているつもりですが、イメージとして一筆書きだなって覚えてたので、これが致命的な間違いだったら困るなと思い質問しました。

>>f(x)が範囲Mで微分可能ならf '(x)は範囲Mでさらに微分可能。
これは正しくない。
これが成り立たない場合があるのは知りませんでした。ご指摘ありがとうございます。
f(x)が範囲Mで微分可能でもf'(x)が連続にすらならないこともあるんですね。

回答No.6

alice_44

実関数を考えているの？
「微分可能なら何回でも」は、複素関数でしょ。

お礼

回答ありがとうございました。

＞実関数を考えているの？

はい。実関数をかんがえていました。ただ微分が何回もできるというのは勘違いでした。

>「微分可能なら何回でも」は、複素関数でしょ。

複素関数とは本当にさわりしかしらないので、何回も微分可能ということまでは知りませんでした。勉強になりました。

回答No.5

ramayana

おおむねこれまでこれまでの回答者さんたちと同じ意見です。しかし、

　　「左右両方からxがaに接近するときの微分係数が一致したら、x=aで微分可能」

というのは、○だとする考えも成立します。

ほとんど国語の問題ですが、質問者さんのの本意は別として、この文章を素直に読めば、「aにおいてf(x)に左側微係数と右側微係数が存在し、それらが一致したら、x=aで微分可能」と解釈するのが自然ではないでしょうか。すると、f(a)が存在し、かつaにおいて連続というのは、仮定に含まれます。

　　「微分係数が左右両方からxがaに接近するときの極限が一致したら、x=aで微分可能」

という言い回しでないことに注意を払う必要があります。

お礼

回答ありがとうございました。　なるほど～　自分でもそこまでは考えてなかったですが、確かにそういうこともできますね。ともあれ、連続であるというのは微分係数があることの必要条件であることを肝に銘じておきます。　ありがとうございました。

回答No.4

中村 拓男（@tknakamuri）

>× 連続は（数学的じゃないですが）一筆書きでかけるようなのを連続という。

x の定義域が 実数全体ではない場合も考えないといけません。

極端な例をあげてみましょう。関数

f(x)=-1(x<-1), 0(x=0), 1(x > 1), 未定義(-1<x<0 or 0<x<1)

は x=0 で孤立点ですが、定義から「連続」です。

お礼

なるほど。。。　そもそもx=-1には右から接近しないということですね。　一筆書きをどうしても使いたかったら、連続している範囲での連続している関数は、y軸と平行ではなく一筆書きという感じですかね。　まあここまでくると普通の定義を見たほうが早い気がしますが。。。

回答No.3

stomachman

ANo.2のコメントについて

> 微分係数=接線の傾きという認識だったので

　基本それでOKです。が、接線というのは曲線の話。しかし、関数f(x)がすなわち曲線というわけではない。y=f(x)のグラフ（つまり、方程式y=f(x)を満たす点(x,y)の集合）こそが曲線です。挙げた例のグラフをふつーに描いてみればすぐ分かることですが、明らかにx=0で接線が描ける。曲線はどっちから眺めても同じ曲線ですから、グラフを90度回して眺めれば良いのです。(x,y)=(0,0)でdy/dxはないがdx/dyならある、ということですね。

　なお、挙げた例は、「知ってた」から回答できたのではなく、どれも「例外を考えて、その場で作った」んです。知ってるかどうかじゃありません。
　全部y=f(x)のグラフを描いてみれば、お考えになった規則に対して例外がどのように作られるか、そして、どのように例外を探せば良いかが見えて来ると思いますよ。

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.2

stomachman

実数から実数への関数に限定した話ですね。
× 左右両方からxがaに接近するときの微分係数が一致したら、x=aで微分可能　(f(x)=x/|x|とすると、f(0)は定義されないので、(f(Δx)-f(0))も意味を持たず、だからx=0で微分できない。しかしx≠0なら至る所で微分できて、その微分係数はxによらず0だから、「左右両方からxが0に接近するときの微分係数」はどっちも0であり、一致。）

○ x=aで微分可能ならx=aで連続。　
○ 微分可能で直線じゃないならその点においての接線がある。（「直線じゃないなら」は余計。直線y=xの接線はy=x自身です。）

× 微分不可能な点では接線は存在しない。(f(x)=(x≧0なら√x, x＜0なら-√(-x)) はx=0で微分不可能だけど、曲線y=f(x)にはx=0においても接線x=0があります。）

× 積分は連続している範囲でできる。（0＜xの範囲でf(x)=1の積分は発散します。(1)積分範囲そのものに切れ目がないという話か、それとも、(2)積分範囲の中に被積分関数が連続でない所はないという話か、どっちなのか曖昧ですが、いずれにせよ×。）

× 連続していない範囲では積分できない。（|x|>1の範囲で1/((x-2)^3)を積分できます。(1)(2)のいずれにせよ×。）


× 連続は（数学的じゃないですが）一筆書きでかけるようなのを連続という。数学的にはイプシロンデルタ論法をつかうと思いますが今は省略します。(連続とは、大雑把に言えば、 |Δx|>0を十分小さくすれば、|f(x+Δx)-f(x)|をいくらでも0に近づけられるということ。一筆書きできる直線x=0ではこれは不可能です。）

× f(x)が範囲Mで微分可能ならf '(x)は範囲Mでさらに微分可能。これは何回でも可能で、多項式関数の場合は最終的に0になる。（f(x) = x|x| はx=0も含めて至る所で微分可能だけど、f'(x)=2|x|はx=0で微分できません。）



○ たとえばf(x)=|x| はすべての実数において連続だがx=0で微分できない。

お礼

回答ありがとうございます。　実数から実数の関数に限定した話です

>
× 微分不可能な点では接線は存在しない。(f(x)=(x≧0なら√x, x＜0なら-√(-x)) はx=0で微分不可能だけど、曲線y=f(x)にはx=0においても接線x=0があります。）

微分係数=接線の傾きという認識だったので微分係数がないなら接線も出せないと思っていたのですが、微分係数がない場合の接線の傾きはどうやってきめるのでしょうか？

>× 積分は連続している範囲でできる。（0＜xの範囲でf(x)=1の積分は発散します。(1)積分範囲そのものに切れ目がないという話か、それとも、(2)積分範囲の中に被積分関数が連続でない所はないという話か、どっちなのか曖昧ですが、いずれにせよ×。）

× 連続していない範囲では積分できない。（|x|>1の範囲で1/((x-2)^3)を積分できます。(1)(2)のいずれにせよ×。）

なるほど。。。だいぶ勘違いもはなはだしかったですね。

＞連続とは、大雑把に言えば、 |Δx|>0を十分小さくすれば、|f(x+Δx)-f(x)|をいくらでも0に近づけられるということ。一筆書きできる直線x=0ではこれは不可能です。）

なるほど。　一筆書きというだけではまったく不十分でしたね。

＞× f(x)が範囲Mで微分可能ならf '(x)は範囲Mでさらに微分可能。これは何回でも可能で、多項式関数の場合は最終的に0になる。（f(x) = x|x| はx=0も含めて至る所で微分可能だけど、f'(x)=2|x|はx=0で微分できません。）



なるほど。　勉強になりました。