数学の極限の範囲です

質問

1.a>1のとき極限lim(x→π)sinax/sinxが正の値に収束するためのaの条件を求めよ。

2.1の条件を満たすaに対して極限lim(θ→+0) sin｛a(1-θ)π/θをaを用いて表せ。

3.1の条件を満たすaに対して、f(θ)=sin｛(a-1)(1-θ)π｝+2sin｛a(1-θ)π｝+sin｛(a+1)(1-θ)π｝とする。
このとき極限lim(θ→0)f(θ)/θ^3をaを用いて表せ。

解
1.aが3以上の奇数
2.aπ
3.aπ^3

どうしたらいいか分かりません
お願いします。

回答No.5

Water_5

1.a>1のとき極限lim(x→π)sinax/sinxが正の値に収束するためのaの条件を求めよ

答えは
a=3,5,7,11,・・・・
のようですが。

ｆ（ｘ）＝sin（３x）/sin（x）

のグラフを先日の”GRAPES”や”GNUPLOT”
でグラフ表示させると面白いですよ。

・何故a=3,5,7,11・・・なのかがわかってきます。
・lim(x→π)での極限値が見えてきます。

以前はこの目的で私も使っていたのですが、いまは
使い方もわかりません。忘れてしまって。

回答No.4

tmpname

> sin(ax) = sin{a(π + t)} = sin(aπ) cos(at) + cos(aπ) sin(a)
最後はsin(at)
> sin｛a(1-θ)π｝を共通因子として出したのち、残った部分に半角の公式を適用せよ。
残った部分に半角の公式を適用して、{sin(z)}^2 みたいな形にする。あれ？と思った時は、その残った部分を一度加法定理をつかって崩してください。

回答No.3

noname#223095

1. 以下，正弦sinのnと，整数を表すnが紛らわしいですが，そこを注意しながら読んで下さい．

x-π=tとおくと，x→πのとき，t→0．また，x=t+πより，考える極限の式をtの式に書き直すと，

　　　　　sina(t+π)/sin(t+π)・・・(1)

t→0のとき，(1)の分母→0．また，(1)の分子→sinaπ．
よって，(1)が収束するためにはsinaπ=0が必要．よって，

　　　　　aπ=nπ すなわち，a=n (但し，nは整数)

これとa>1より，a=2, 3, 4,・・・が必要．よって，aをnで表すことにすると

　　　　　n=2, 3, 4,・・・

で，(1)の lim(t→0)を除いた部分だけを書き出すと，

　　　　　sinn(t+π)/sin(t+π)・・・(2)

(2)の分子，分母を加法定理で展開して

　　　　　(sinnt・cosnπ+cosnt・sinnπ)/(sint・cosπ＋cost・sinπ)

ここで，sinnπ=0,　cosnπ=(-1)^n等に注意すると上式は，

　　　　　{(-1)^n sinnt}/(-sint)=(-1)^(n-1)・sinnt/sint・・・(3)

(3)の分子，分母をそれぞれtで割り，更に，分子については(sinnt/nt)・nと書き直してやってt→0をとると，

　　　　分子については，(sinnt/nt)・n→n，一方分母についてはsint/t→1

よって，(3)全体の極限は

　　　　　n・(-1)^(n-1)

これが，正であることから，nは奇数，しかもnすなわち，aは2以上であることから，aは3以上．

以上より，求めるaの条件は，「aは3以上の奇数」．

スミマセン．最後まで解いていますけど，解答を打ち込むのに設問１だけでくたびれ果てました．２番，３番はご勘弁下さい．

本当に数学の解答打ち込むのって，大変ですね・・・．英語の解答の何十倍ものエネルギーが要りますわ．やっぱり，私には無理かな・・・って思えてきました．２番以降は他の方はお任せします．

回答No.2

tmpname

命令調で書きます。
1.
sin(π) = 0 だから、sin(aπ) = 0 でないといけないので、aに特に条件が与えられてなくてもaは整数でないといけないことはわかる。
今、x = π + tとおくとx→πというのとt→0というのは同じ。
さて、sin(x) = sin(π + t) = -sin(t)。
一方、sin(ax) = sin{a(π + t)} = sin(aπ) cos(at) + cos(aπ) sin(a) = (-1)^a sin(at)だから（今、aは整数であることに注意）
sin(ax) / sin(x) = (-1)^(a+1) * { sin(at) / sin(t) }となって、
lim(x→π){ sin(ax) / sin(x) } = (-1)^(a+1) * a となるので、a>1の時、lim(x→π){ sin(ax) / sin(x) } はaが偶数の時負、奇数の時正となる。

2.
sin｛a(1-θ)}π = sin (aπ - aθπ）を加法定理を使って計算せよ。今、sin(aπ) =0, cos(aπ) = -1なのに注意。
3.
先ず、sin｛(a-1)(1-θ)π｝+ sin｛(a+1)(1-θ)π｝の部分を和積の公式をつかってAsin(α) cos (β)の形にせよ。
何だったか思い出すには、
sin(a + b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b)
sin(a - b) = sin(a) cos(b) - cos(a) sin(b)
において、辺々足し、 a = (x + y) / 2, b = (x - y) / 2とおいてみよ。a+b = x, a - b = yに注意。
ヒントを出すと、sin｛a(1-θ)π｝というのが出てくるはず。

その結果を使ってsin｛(a-1)(1-θ)π｝+2sin｛a(1-θ)π｝+sin｛(a+1)(1-θ)π｝を頑張って計算せよ
（つまり、sin｛a(1-θ)π｝というのが共通因子として出て来る）。sin｛a(1-θ)π｝を共通因子として出したのち、残った部分に半角の公式を適用せよ。

取り敢えず計算してみて、分からなくなったら再び書いてください。

回答No.1

bran111

奇数、偶数というのは整数についていうことであって、aが整数という条件はあるのですか。