関数の極限でわかりません。

質問

ｆ（ｘ）=(px+q)sin2x/ax+bがlim[x→0]f(x)=2,lim[x→∞]f(x)=0　　　を満たすとき、定数a,b,p,qについての条件を求めなさい。

lim[x→0]（√ｘ+1）-(bx^2+ax+1)/x^3が有限な極限値を持つためのa,bの値を求めなさい。

という問題がわかりません(*_*)
どちらか片方でも構わないので、わかる方お願いします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

前半

>f(x)=(px+q)sin2x/ax+b
ｆ（ｘ）=(px+q)sin(2x)/(ax+b)
と書かないと、sin( )の括弧内の範囲や分母が(ax+b)であることが分かりません？

lim(x→0)f(x)=2 になるためには
　b=0, 2q/a=2 ∴q=a, a≠0
この時 f(x)={2(px+a)/a}*sin(2x)/(2x)→2(x→0)
|f(x)|=|(p+(a/x))/a|*|sin(2x)|≦|(p+(a/x))/a|
lim[x→∞] |f(x)|≦lim[x→∞] |(p+(a/x))/a|=p/a=0 (∵lim[x→∞] f(x)=0 )
　p=0
以上から b=p=0, q=a≠0

検証）
f(x)=a*sin(2x)/(a*x)=sin(2x)/x
これは f(x)→2(x→0), f(x)→0(x→∞) を満たす。

後半】
L=lim[x→0]（√(ｘ+1）)-(bx^2+ax+1))/x^3 が有限な極限値を持つためには
　0/0型でなければならないが
　x→0の時、分子→1-1=0, 分母→0
　となっている。
分子の有理化を行います。
L=lim[x→0] {(ｘ+1）-(bx^2+ax+1)^2}/[(x^3){(√(ｘ+1）)+(bx^2+ax+1)}]
=lim[x→0] {1-x(bx+a)^2-2(bx+a)}/[(x^2){(√(ｘ+1）)+(bx^2+ax+1)}]
=lim[x→0] {1-x(bx+a)^2-2(bx+a)}/(2x^2)
これが収束する為には
x→0の時　分母2x^2→0なので分子→0でなければならない。
これから
　1-2a=0 ∴a=1/2
この時
L=(1/2)lim[x→0] {1-x(bx+(1/2))^2-2(bx+(1/2))}/x^2
=(1/8)lim[x→0] {4-x(2bx+1)^2-4(2bx+1)}/x^2
=(1/8)lim[x→0] {-x(2bx+1)^2-8bx}/x^2
=(-1/8)lim[x→0] {(2bx+1)^2+8b}/x
x→0の時　収束するには、分母x→0なので分子→0でなければならない。
　1+8b=0 ∴b=-1/8
この時
L=(-1/8)lim[x→0] {(-(1/4)x+1)^2-1}/x
=(-1/8)lim[x→0] {(1/16)x^2-(x/2)}/x
=(-1/8)lim[x→0] {(1/16)x-(1/2)}/1
=(-1/8)(-1/2)
=1/16
と収束します。

以上から a=1/2, b=-1/8

お礼

回答ありがとうございます。
とてもわかりやすくてありがたいですm(_ _)m

指摘されたところは以後気を付けて投稿したいと思います。

回答No.1

hrsmmhr

最初は
・lim[x→∞]f(x)=0ならpが0でないと0には収束できないので…
・lim[x→0]f(x)=2なのでax+b→0でないとsin2xがあるので…

次のは問題が
lim[x→0]{√(x+1)-(bx^2+ax+1)}/x^3
ですよね？もしそうなら分母分子に
{√(x+1)+(bx^2+ax+1)}
をかけてみてください

お礼

ありがとうございます☆

とりあえず、その通りに頑張って解いてみます(＾＾)/