極限の質問です。

質問

画像のような等式が成り立つa,bの値を求めることはできますか？
求められない場合の理由もお教えいただければ嬉しいです。

また、この画像の式をPC上でどのように表せばよいか困っています。
極限lim[x→∞] √(x^2+ax)+bx=3/2で合ってますか？

どちらかだけでもご回答いただけると助かります。よろしくお願いします。

回答No.2

上野 尚人（@uenotakato） · ベストアンサー

数式の表現は問題ありません。

解き方
x = -t と置き換えて
lim (t→∞) { √(t^2 - at) - bt } = 3/2
t→∞のとき √(t^2 - at) → ∞ である。
この式が有限確定値に収束するには bt → ∞ となることが必要なので b > 0 とわかる。

ここで
√(t^2 - at) - bt = { √(t^2 - at) - bt } / 1
= [{√(t^2-at) - bt}{√(t^2-at) + bt}] / {√(t^2-at)+bt}
= {(t^2-at) - (bt)^2} / {√(t^2-at)+bt}
= { (1-b^2)t^2 - at } / { √(t^2-at)+bt }
（分子分母をtで割って）
= { (1-b^2)t - a } / [ √{1-(a/t)} + b ] …(*)

t→∞のとき、(*)の分母は正の値 1 + b に近づく。この式全体が有限確定値に収束するので、(*) の分子も有限確定値に収束する。
よって 1 - b^2 = 0 であり、b > 0 より b = 1 がいえる。
b = 1 のとき
(*) = (-a) / [ √{1-(a/t) + 1 ]
であり、t→∞のときこの式は (-a) / 2 に収束する。
これが 3/2 に等しいので、 a = -3 とわかる。

a = -3 , b = 1 …答

補足

詳しい解説ありがとうございます。とても分かりやすいです。

b = 1 のとき
(*) = (-a) / [ √{1-(a/t) + 1 ]
であり、t→∞のときこの式は (-a) / 2 に収束する。

この部分はなぜ分母が２になるのでしょうか。1-(a/t)をどのように変化させているのかがわかりません。

回答No.4

soyandbeefmilk

３番です、追記します。a,bの異符号の場合分けが抜けてました。しかしやはり∞-∞の不定形が現れその解消ができません、従って私の回答になりました。２番の方の有理化と回答は暗算でやってましたが、どうもうまく行かなかった。是非検算して下さい。２番の方もaの符号の扱いで間違ってらっしゃいます。

回答No.3

soyandbeefmilk

（教科書や数学教師に確認して下さい。）
まず、あなたの表記が、xは∞に行くのか -∞に行くのか質問本文と添付画像で一致してませんが、そういう所から訂正しないと。手書きの - ∞のことだとして回答しますが。

私がわかる確かな結論からだけ言えば、極限問題は、収束する(極限値がある。)か、発散する(正負∞での振動も含む。)か、定まらない(不定)か、ということになりますが、変数の極限先をまず数式に代入して計算してみます。計算値が出れば、「数式の極限は収束し極限値は何々である。」となり、計算結果が∞または - ∞になれば「数式の極限は(∞または - ∞に)発散する。」となり正負での振動も含められます。あと分数式では分母０で計算不能になるので右極限、左極限などの分類も出現しますが。

そこで代入したら、a,bが共に負数のとき根号内も一次の項も∞になり極限は∞に発散。a,bが０か正数のときは各々計算して、a,b共に０で∞に発散。a,bが片方０と他方が正数、または共に正数で、式の値の計算には∞-∞が現れ不定になります。そういった式の値が不定になるものを不定形と呼びます。0×∞、∞-∞、0÷0、∞÷∞がその代表で、定まらない、分からないということです。そこでこの不定形を解消できる巧みな式変形を行うことで極限値があれば求まることがあります。各不定形の場合で変形手法は発見されていて習っています。不定形が無理式を含む式の場合は、その無理式を含む共役な式を分子分母に掛けて元の式の無理式を有理化できないか、と試みるのが定石です。後ろを-bxにして[{√}-bx]/[{√}-bx]を掛けてみたが∞-∞などの不定形は解消されないため、私は求まらないが答えでした。
整理すると、a,bは先の場合分けにより与式を発散させるか不定形を作るが、不定形についてはその解消手法が見つからずその時の極限値は不定であり、質問のa,bは存在しない。が、私の回答です。

入力についてはちゃんと括弧を正確に使うことです。大括弧、中括弧、小括弧など使い分けることです。

回答No.1

EH1026TOYO

a = 3
b = -1

補足

数式書き間違ってましたね…

[x→-∞]だった場合は単純にa=-3,b=1と符号を逆にすればよいと考えて問題ないでしょうか？