数学 極限

質問

定数a,bが等式lim x→3 ax-b√x+1/x-3=5 を満たすように定数a,bの値を求めよ。

お願いします。

回答No.1

info33 · ベストアンサー

>lim x→3 ax-b√x+1/x-3=5
書き方に注意:
lim [x→3] (ax-b√(x+1))/(x-3)=5
ですか?

そうであれば
lim [x→3] (ax-b√(x+1))/(x-3)=5 ...(1)
分子の必要条件:
lim[x→3] (ax-b√(x+1))=3a-2b=0 ...(2)

この時, ロピタルの定理を適用して
lim [x→3] (ax-b√(x+1))/(x-3)=lim [x→3] (a-b/(2√(x+1)))=a-b/4=5 ...(3)

a,bについての連立方程式(2),(3)を解く
a=8, b=12

[検算]
元の式(1)の左辺に代入して
lim [x→3] (ax-b√(x+1))/(x-3)=lim [x→3] (8x-12√(x+1))/(x-3)
=lim [x→3] 4(2x-3√(x+1))/(x-3)
分子の有理化
=lim [x→3] 4{4x^2-9(x+1)}/[(x-3){2x+3√(x+1)}]
=lim [x→3] 4(4x+3)(x-3)/[(x-3){2x+3√(x+1)}]
=lim [x→3] 4(4x+3)/{2x+3√(x+1)}
= 4(12+3)/(6+3*2) = 4*15/12
= 5
= 右辺

(Ans.) a=8, b=12

お礼

書き方気をつけます！ご指摘ありがとうございます😊