極限と係数決定 高校数学

質問

高校数学　極限と係数決定　の解答の内容が理解できません。ご教示お願いします。

問題
lim[x→3]（x^2+ax+b)/(x-3)=8 が成り立つときのa,bの値

解答
x→3　のとき分母→0
したがって、与えられた等式が成立するためには
x→3のとき、分子→0　でなければならない・・・

とあるのですが、→0/→0＝8　と言っているように感じてしまい、これでは必要条件として成り立つようには思えないのですが…　

いったいどのように考えればいいのでしょうか？

回答No.5

0lmn0lmn0

＞＞どうやら私は
＞＞x→3　のとき分母＝(→0)
＞＞したがって、与えられた等式が成立するためには
＞＞分子＝8*(→0)　でなければならない。
＞＞とすべきだと感じているようなのですが…

　貴殿の考え方が、betterと思います。

　この考え方は書き難いため、
　模範解答では、（書き易い）ように表現しています。

次のスレッドの、ANo.2様が、貴殿と同じ考え方を示しています。
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3366723.html

補足

ありがとうございます。

＞＞この考え方は書き難いため、
　模範解答では、（書き易い）ように表現しています。

8*(→0)も(→0)も同等扱いしているということなら誤差容認的表記と捕らえていいのでしょうか？
また、この文章は一般的に通用する表現なのでしょうか？

追門すみません。

回答No.4

noname#58425

★limitの計算で，分母が0になってしまったら，(1)約分したり，(2)分子の有理化を試みたりする(そのあとは(1)に帰着される)のでした。要は，基本は(1)「約分」であるということです。
★この問題では，分子が x-3 を因数に持たなければ，分母との約分ができなくなり(つまり(1)の操作が出来なくなり)，分母が0になり，極限値が定義されえなくなると考えてよいでしょう。
★つまり，「分子が x-3 を因数に持つことは，この極限値が定義される必要条件である」ということ。別の言い方をすれば，「分子が x-3 を因数に持つことによって約分が実現され，『●→0』というこまった要素を削除できる」ということです。
★この下で，pを定数とすると，x^2+ax+b=(x-3)(x+p) とおけます。よって，　lim[x→3](x^2+ax+b)/(x-3)=lim[x→3](x+p)　が成立します。あとは，もうおわかりでしょう

補足

皆さんありがとうございます。
解法は理解できました。

でもやはり文章が理解できません。

＞x→3　のとき分母→0
　したがって、与えられた等式が成立するためには
　x→3のとき、分子→0　でなければならない・・・

ここでいう
分母→0　と分子→0は違う数字ですか？ですよね？？

どうやら私は
x→3　のとき分母＝(→0)
したがって、与えられた等式が成立するためには
分子＝8*(→0)　でなければならない。

とすべきだと感じているようなのですが…

回答No.3

age_momo

f(x)=x^2+ax+b
において
f(3)=0 ⇔　x^2+ax+b=(x-3)(x+c)
ですね。

ここに至るまでの学習で

lim[x→p](x-p)(x+q)/(x-p)=lim[x→p](x+q)=p+q

であることを勉強したと思います。
この問題も同じで分子もx→3の時、0になる（x-3の因子を持つと同値)ことが
必要です。

回答No.2

kkkk2222

>>→0/→0＝8　と言っているように感じてしまい。

と言っているのです。

>>必要条件として成り立つようには思えない。

必要条件/必要十分条件　ではないとしたら。
禅問答・・・。

回答No.1

recit

x→3のとき（x^2+ax+b)/(x-3)の分母が→0になるので、
分子が→0でなければ（x^2+ax+b)/(x-3)は発散してしまいます。
したがって、（x^2+ax+b)/(x-3)が収束するためには分子が→0にならなければならないわけです。
回答の引用部分は「→a/→0＝有限値ならばa＝0」と言っているにすぎません。