微分が苦手です。。教えてください。

質問

私立文系なのに、微分の問題を教えるなければならないので
困ってます。助けてください。。

X2”=Xの2乗のことです。入力できなかったのでわかりにくくてすみません。

lim 　X2”+ aX + b
x→1 ----------- = 5　が成り立つようなaとbの値を求めよ。
　　　　X2"-1
という問題なのですが、解答みてもよくわかりません。
分母と分子を別に考えるようなのですが、「この極限になるためには
分子は0に近づくしかない」とも書かれてあるのですが？？？です。
この問題でなくとも、微分の感覚をつかむためのアドバイスをいただけたら嬉しいです。わかりにくくて申し訳ないですがお願いします。

回答No.2

noname#181872 · ベストアンサー

極限の問題ですね。
極限とはある関数f(x)においてxをある数字に近づけたとき
どの値に行き着くか？ということを求めるものです。

たとえばy=2x/x（分母xで分子2x）という式があるとします。
この式はxで約分すれば2ですが、こういう式である以上、x=0のときは
定義できませんよね。だけど、xが0でなければy=2になりますし、
xを0にできるだけ近づけたら2になりそうというのは想像できますよね。

そういう感じでを与えられた式ではどうなるか？ということを求めることになります。

で、こういう極限を求めるとき、結果が定数のときというのは
不定形である可能性が高いです。

たとえばy=2/xにおいてxを0に正の方向から近づけた場合、素直にx=0を
代入すると2/0となり、yはひたすら大きくなりそうですよね。
つまり+∞に発散してしまうのです。
それに対して、先ほど出したy=2x/xにx=0を代入すると、0/0となります。
こういう場合を不定形といい、どこに行き着くかこれだけでは
判断できないということになります。
その例としてy=2x^2/x（分子は2xの2乗です）でもxを0に近づけた場合、
素直にx=0を代入すると0/0となります。でも、こちらはy=2x^2/x=2xなので、
xを0に近づけるとyは0に近づきます。
つまりともにxを0に近づけた場合、ともにx=0を代入すると0/0となるけれど、
片や2に近づき、片や0に近づくのです。
このようなものを不定形といいます。0/0以外の不定形の例は後で調べてください。

で、問題では分母にx=1を代入すると0になります。
そうすると、x=1に近づけると答えが発散ではなくある値が出ているということは、
0/0の不定形でなければならないわけです。0以外の値を持ってしまうと
プラスかマイナスの∞に発散してしまいますよね。
解説で言っていることはそういうことです。
後の計算はがんばってください。

お礼

なるほど！って感じです☆不定形やら発散やらの意味がわかりました！
本当にありがとうございます！！

回答No.4

fuuraibou0

最後の所が変になったので、訂正します。

　　　ｘ^2＋ａｘ＋ｂ　　　　　　(ｘ―ｂ)(ｘ―１) 　　　　　　ｘ－ｂ　　　１―ｂ
lim　―――――― ＝ lim ―――――― ＝ lim ――――＝―――＝５
ｘ→１　　ｘ^2－１　　 ｘ→１　(ｘ＋１)(ｘ－１)　　ｘ→１　ｘ＋１　　　 　２

よって、１－ｂ＝２*５　より、ｂ＝－９、　また、（１）より、ａ＝－（－９＋１）＝８ です。

回答No.3

fuuraibou0

回答はＡＮｏ.１さんの答えで良いのですが、ちょっと補足しますと、
　　　ｘ^2＋ａｘ＋ｂ
lim　――――――＝５　　　の場合、
ｘ→１　　ｘ^2－１

ｘ＝１　を代入すると、分母が　(１)^2－１＝０、　分子が　(１)^2＋ａ(１)＋ｂ になり、

分子が ０ でないとき、分子/０＝不能、で式が成立せず（分子≠０*ある値）だが、分子が ０ なら、０/０＝不定、で式が成り立ち、（０＝０*ある値）

よって、限りなく ｘ を ０ に近づけたとき、分子が ０ になるようにすると、

ｘ＝１ のとき、分子が　(１)^2＋ａ(１)＋ｂ＝１＋ａ＋ｂ＝０ より、

ａ＝－(ｂ＋１)　・・（１）

ゆえに、分子を　ｘ^2－(ｂ＋１)ｘ＋ｂ＝ｘ(ｘ－１)－ｂ(ｘ－１)＝(ｘ―ｂ)(ｘ―１) として、

　　　ｘ^2＋ａｘ＋ｂ　　　　　(ｘ―ｂ)(ｘ―１) 　　　　　ｘ－ｂ　　１―ｂ
lim　―――――― ＝ lim ――――――――― ＝ lim ―――――＝―――＝５
ｘ→１　　ｘ^2－１　　 ｘ→１　(ｘ＋１)(ｘ－１)　　ｘ→１　ｘ＋１　　 ２

よって、１－ｂ＝２*５　より、ｂ＝－９、　また、（１）より、ａ＝－（－９＋１）＝８ です

お礼

ありがとうごさいました！
更に、解答の流れがよくわかりました！助かります☆

回答No.1

info22

Xの２乗は「X^2」と書くのが通例です。

分母をg(X),分子をf(X)とおくと
g(1)=0ですから、f(1)≠0とすると極限値は「定数/0」型となって∞または－∞に発散して5にはなりません。
したがって、f(1)=1+a+b=0…(1)
でなければならないといけません。
(1)からb=-1-a…(2)
したがって
f(X)=X^2+aX+b=X^2+aX-1-a=(X-1)(X+1+a)
このとき
lim[X→1] f(X)/g(X)=lim[X→1] (X+1+a)/(X+1)=(2+a)/2=5

2+a=10
∴a=8
(2)から
b=-9
(答) a=8,b=-9

お礼

早々のご回答、ありがとうございます！