高校 数III 関数の極限の問題です

質問

f(x)=(ax^3+bx^2+cx+d)/(x^2-6x+8)　であるとき、

lim_[x→∞]f(x)=6 , lim_[x→2]f(x)=-10である。

a,b,c,dを求めよ。
――――――――――――――――――――――――

助けてください。お願いします。

回答No.2

ajnsuqbaas · ベストアンサー

数３の一部をなす「微分・積分」という古い科目を２４年前に履修しました。

ａについて
分子が３次式、分母が２次式である。ｘ→∞とすると、ａ≠０では発散
するのは明らかである。
従って、有限確定値を持つためには分子は２次式でなければならず
よってａ＝０

ｂについて
分子分母をｘ＾２で割れば
ｆ（ｘ）＝（ｂ＋ｃ／ｘ＋ｄ／ｘ＾２）／（１－６／ｘ＋８／ｘ＾２）
ｘ→∞とするとｆ（ｘ）→６であるから
ｆ（ｘ）→（ｂ＋０＋０）／（１ー０＋０）＝ｂ＝６

ｃ，ｄについて
分母は次のように因数分解できる
分母＝（ｘ－２）（ｘ－４）
ｘ→２では分母が０となるので、分子がｘー２で割り切れなければ
この極限は発散する。そこで分子をｇ（ｘ）とおき
ｇ（ｘ）＝６（ｘ－２）（ｘーα）とおける。（αは実数）
このときｆ（ｘ）＝６（ｘ－２）（ｘ－α）／（ｘ－２）（ｘ－４）
＝６（ｘーα）／（ｘー４）＝－１０
ｘ→２なのでｘ＝２を代入して
６（２ーα）／（２ー４）＝－１０
２－α＝－１０・（－２）／６＝１０／３
－α＝１０／３－２
α＝２－１０／３＝－４／３
ゆえに
ｇ（ｘ）＝６（ｘ－２）（ｘ＋４／３）
＝（ｘ－２）（６ｘ＋８）
＝６ｘ＾２ー４ｘ－１６
これはｆ（ｘ）の分母にほかならず、係数を比較することにより、
ｃ＝－４　ｄ＝－１６

すなわち
ａ＝０　ｂ＝６　ｃ＝ー４　ｄ＝ー１６
＝＝＝＝＝＝＝
検算用に覚えておきましょう。
「０／０不定形の極限は、分母、分子それぞれを微分したものの極限に等しい（ロピタルの定理）」
（これでもだめなら再度微分していく）
過程を書かせる問題でつかってはいけません。高校数学では定理を証明していないからです。
（大学数学微分積分学で証明します）
この問題の、x->2の条件は次のように検算されます。
（６ｘ＾２－４ｘ－１６）／（ｘ＾２ー６ｘ＋８）
→（１２ｘー４）／（２ｘ－６）　（分母分子を微分）
ｘ＝２を代入
（２４－４）／（４－６）＝ー１０となり、条件の極限値が得られる。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
こうしてみると
・整式の分数式の極限の特徴（分母分子で次数は同じか（種々の値）、分子が小さい（０）こと。分子次数が大きいと必ず発散する）
・∞にすっ飛ばしたときの整式の極限の基礎的解法（最高次数で分母分子を割って次数の低い項を０に収束させる）
・有限確定値に飛ばしたときの０／０不定形極限の基礎的解法
　（因数分解・約分などをして、その点の影響を消す）
でとける問題です。
まだ簡単な方に入ります。類題をよくさらっておいてください。

お礼

丁寧な回答ありがとうございます。
ロピタルの定理というものは知らなかったので
今後の勉強に活用していきたいです。

受験生の夏にこの程度の問題が解けなく
とても恥ずかしいです。
これからもっと精進していきます。
ありがとうございました。

回答No.1

info22

lim_[x→∞]f(x)=6　から　a=0,b=6
このとき
f(x)=(6x^2+cx+d)/{(x-2)(x-4)}
lim_[x→2]f(x)=-10 から
f(x)の分子が(x-2)で割り切れなければならない。
分子にx=2を代入すると分子=0
24+2c+d=0 → d=-24-2c…（■）
このとき
f(x)=(6x^2+cx-24-2c)/{(x-2)(x-4)}
=(x-2)(6x+12+c)/{(x-2)(x-4)}
=(6x+12+c)/(x-4)
x=2を代入して
(12+12+c)/(2-4)=-10…（●）

(■）と（●）からc,dを計算して下さい。

お礼

迅速な回答ありがとうございました。
学校で求められているであろう回答のようで助かりました。
ありがとうございました。