三次関数の問題

質問

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三次関数f(x)=x^3-(3/4)x , g(x)=ax^3+bx^2+cx+dがある
区間 -1≦x≦1　において、|g(x)|≦1/4である。
(1)h(x)=f(x)-g(x)とおくとき、h(-1),h(-1/2),h(1/2),h(1)と0との大小関係をそれぞれしらべよ
(2)a=1のとき、すべてのxに対して、g(x)=f(x)が成り立つことを示せ
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それぞれ２問あります。

このうち(1)は解けたのですが、(2)でつまずきました。
(1)で利用したh(x)を利用するのかと思い、
h(x)=-bx^2-(3/4+c)x-d
として、x=-1,-1/2,1/2,1の値をそれぞれ代入して不等式を作ったり
また|g(0)=d|≦1/4からdの値の範囲を求めて・・・

などなど色々試行錯誤したのですが、どうも進みません。

どなたか、ヒントを教えていただけないでしょうか？

回答No.1

R_Earl · ベストアンサー

過去の質問を見ましたが、(1)の答えは

h(-1)≦0
h(-1/2)≧0
h(1/2)≦0
h(1)≧0

でよいのでしょうか？
だとしたらまずh(-1)≦0とh(1)≧0から
-(c + 3/4) ≦ b + d ≦ (c + 3/4)
が言えます。
この不等式は左と右がほとんど同じ形をしていますよね？
唯一違うのはプラスかマイナスかだけです。
この部分に着目すると、この不等式が成り立つのは
「(c + 3/4)が0以上」の時ですよね？
でないと「正の数 ≦ 何らかの数 ≦ 負の数」という
ありえない不等式になっちゃいます。

次にh(-1/2)≧0とh(1/2)≦0から
(1/2)(c + 3/4) ≦ (1/4)b + d ≦ -(1/2)(c + 3/4)
が言えます。
やはりこれも不等式の左と右が同じ形をしています。
ここにも(c + 3/4)が現れてますね。
最初に考えた不等式と比べやすくするため、両辺を2倍して
(c + 3/4) ≦ (1/2)b + 2d ≦ -(c + 3/4)
としておきます。
こちらも「正の数 ≦ 何らかの数 ≦ 負の数」という変な不等式にしないためには、
「(c + 3/4)は0以下」としなくてはいけません。

さて、「(c + 3/4)が0以上」と「(c + 3/4)は0以下」が同時に成り立つためには、
cの値をどうしないといけないでしょうか？
これを考えるとcの値が一意に定まります。
ここで求めたcの値を2つの不等式

-(c + 3/4) ≦ b + d ≦ (c + 3/4)
(c + 3/4) ≦ (1/2)b + 2d ≦ -(c + 3/4)

に代入してあげると、bとdの値が求まると思います。