三次方程式の0との大小の比較は以下の解答で十分？

質問

はじめまして。

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三次関数f(x)=x^3-(3/4)x , g(x)=ax^3+bx^2+cx+dがある
区間 -1≦x≦1　において、|g(x)|≦1/4である。
h(x)=f(x)-g(x)とおくとき、h(-1),h(-1/2),h(1/2),h(1)と0との大小関係をそれぞれしらべよ
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という問題がありました。
それぞれの値を代入して
h(-1)≦0
h(-1/2)≧0
h(1/2)≦0
h(1)≧0
ということまではわかりました。
これを解答としていいのでしょうか？
それともa,b,c,dの値にまで言及して、それぞれが不等号となるとき、等号となるときまできちんと場合分けするのが正しい解答といえるのでしょうか？

回答No.2

noname#128765 · ベストアンサー

A,B,C,D,Eを先ほど書いた集合として大小関係は以下のようになる。

(a,b,c,d)∈A-B (-は差集合を表す)ならば h(1)>0
(a,b,c,d)∈Bならばh(1)=0
(a,b,c,d)∈A-Cならばh(-1)<0
(a,b,c,d)∈Cならばh(-1)=0
(a,b,c,d)∈A-Dならばh(1/2)<0
(a,b,c,d)∈Dならばh(1/2)=0
(a,b,c,d)∈A-Eならばh(-1/2)>0
(a,b,c,d)∈Eならばh(-1/2)=0

回答No.1

noname#128765

a,b,c,dの値は特定されていないので、それぞれどんな場合で大小関係が成り立つのか調べる必要がある。
計算上f(1)=1/4, f(-1)=-1/4,f(1/2)=-1/4,f(-1/2)=1/4
より確かに|g(x)|≦1/4 (-1≦x≦1)から　h(1)≧0,h(-1)≦0,h(1/2)≦0,h(-1/2)≧0
であるのは明らか。しかしこのようになるのは
(a,b,c,d)がA={(a,b,c,d)||g(x)|≦1/4 (-1≦x≦1)}に入っていることが条件としてある。
実際にB={(a,b,c,d)|g(1)=1/4},C={(a,b,c,d)|g(-1)=-1/4}
D={(a,b,c,d)|g(1/2)=-1/4} E={(a,b,c,d)|g(-1/2)=1/4}とおき

(a,b,c,d)がB,C,D,E,A\B,A\C,A\D,A\Eのそれぞれの集合の元に入っているかどうかで
等号なのか不等号なのかで違ってくる。
(今は具体的に(a,b,c,d)の値の範囲を定めるよりも集合として書いた方が便利ということで
もある)
例えばBの元、C,D,Eの元　に入っていればh(1)=0,h(-1)=0,h(1/2)=0,h(-1/2)=0
となる。A\B,A\C,A\D,A\Eの元に入っていればh(1)>0,h(-1)>0,h(1/2)>0,h(-1/2)>0
となる。

補足

説明ありがとうございます。

ただ、すみません・・・
＞B={(a,b,c,d)|g(1)=1/4},C={(a,b,c,d)|g(-1)=-1/4},D={(a,b,c,d)|g(1/2)=-1/4} E={(a,b,c,d)|g(-1/2)=1/4}とおき
ここからちょっと説明がよくわかりません、
集合という概念がまだ把握できてないからでしょうか、いまいち理解出来ないのです・・・

a,b,c,dの値によって不等号、等号に違いがあから、書いたほうが良いということはわかりました。
ただ、具体的に解答にはどういう書き方をすればいいのでしょうか？