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高校レベルの数学で気になることがあります。

x^2f'(x)=60x^4-4bx^3+3cx^2 ⇔x^2{f'(x)-60x^2+4bx-3c}=0 として、x=0 のときについても言及しなければ、と思ったのですが、解答では普通に x^2 が消されていました。 わたしは、いままで簡単にこういう場合消してしまっていたので、それによる間違いをよくしました。 ですから、この場合、なんでだろう、と腑に落ちません。 教えていただけますか? 問題は、 2∫(1≦t≦x)t・f(t)dt=x^2f(x)-12x^5+bx^4-cx^3+d で、f(x) が x=1 で極大値20を持ち、x=2 で極小値を持つように、定数 b,c,d の値を求めよ、 というものです。 ∫(1≦t≦x)t・f(t)dt の部分は、t・f(t) を1から x まで積分するというつもりで書きました。 ちなみに、x=o を問題文の式に入れてみると、d が定数にはなりそうだ、と思ったのですが、それ以上何も書けませんでした。 また、質問したところ以外はわかりました。 お願いします。

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  • 回答No.1
  • kochory
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ここで出てきている x^2{f'(x)-60x^2+4bx-3c}=0 という式は、f'(x)が満たすべき条件式として出てきています。 これは、どのようなxの値についても成り立っていなくてはなりません。 ですから、 「どのようなxの値についてこの式が成り立つか」 というのではなく、 「どのようなxの値に対してもこの式が成り立つようにf'(x)を決める」 という見方でこの式は眺めなければいけないのです。 x=0という、特定のxの値についてこの式が成り立つかどうかは この問題においては何の意味もありません。

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質問者からのお礼

回答ありがとうございます。わかってきた感じがします。いつでも調べればいいんじゃないんですね。 わかる方にとってみれば、簡単なことなのでしょうが、私にとっては、これが数学的思考力? なの? という感じです。単に問題をおぼえようとしているだけでは、私にはこういう能力は身につきそうにないです。助かりました。もうちょっと締め切らずに考えてみます。

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その他の回答 (5)

  • 回答No.6

>ここの、「x^2はどう転んでも関数としては0ではない」というのはなぜかなぁ? と思いました。 「関数として0」というのは ずーーーーーーーーーーっと0の値しかとらないことです 「恒等的に0」,「y=0という関数」. x^2はそうじゃないですので「割れる」わけです

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質問者からのお礼

ありがとうございました。わかりました。まだ完璧じゃないですが、なんとなくつかめてきましたので、締め切ります。

  • 回答No.5

>というのは、どういうことなのでしょうか というのは0+αと0-αを代入してみて、x^2>0なので、式の正負が変わらないからですが。 ただこの場合はそもそも積分範囲が1からxで、本当に1≦xならx=0は範囲外で無関係ですね。

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質問者からのお礼

再びありがとうございます。うれしいです。

  • 回答No.4

まあ簡単に言えば2重解の時は極値にならないことを「明らか」としたからでしょうね。 もっとも高校数学の場合、これは数学II+Bあたりの問題ですから、「明らか」とするのは教科書的には強引ではありますが。 というかどのみち増減表を書くのならX=0の場合も書かないとダメですけど?

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質問者からのお礼

回答ありがとうございます。 >2重解の時は極値にならない というのは、どういうことなのでしょうか。f'(x)=a(x-b)^2 などのとき、(b,f(b)) が極値にならない、というのはわかるのですが、この場合ではわかりません…。

  • 回答No.3

「値として等しい」のと 「関数として等しい」が混同されてるんですよ. 例えば・・・aとbを定数として f(x)=x^2 g(x)=ax^3+x^2+b としたときの f(x)=g(x) を考えます これを方程式(値として等しい)とみると x^2=ax^3+x^2+b という方程式を解くことになって aとbで場合分けして,三種類の解がでてきます 一方,恒等式(関数として等しい)とみると a=b=0となります. どっちとみなすかは,文脈に依存します. 今回の問題の場合は 明らかに関数として等しい方です x^2{f'(x)-60x^2+4bx-3c}=0 という場合は, x^2はどう転んでも関数としては0ではないです. ですんで,x^2で割って(0ではないから割れる) f'(x)-60x^2+4bx-3c=0 です. ちなみに,#1さんがおっしゃるように x=0で云々という議論を この段階で行うのは無意味です. けど,この手の問題の場合 求めたf(x)は必要条件でしかないので 解の吟味は必須です. 微分した段階で必要条件となっている点に注意です. 意地悪な問題だと,複数の解がでてきて そのうちの一個だけが解とかってのは 十分ありえます. そして解の吟味をして確かめた段階で あやふやな``x=0''で成立するかも すっきりするでしょう --------------- 上で書いた「関数として0でないから割れる」とか そういう議論は大学で数学でもやれば 習う体論とか環論といった代数の考え方です この考え方がしっくりこない場合は すべてのxについて x^2{f'(x)-60x^2+4bx-3c}=0 が成り立つのであればxが0でないと仮定しても 成立する. したがって,xが0ではないと仮定して f'(x)-60x^2+4bx-3c よりf(x)を求める このf(x)は必要条件だから あとで十分性を確認する ということでも問題ないです

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質問者からのお礼

回答ありがとうございます。 >x^2{f'(x)-60x^2+4bx-3c}=0 > >という場合は, >x^2はどう転んでも関数としては0ではないです. ここの、「x^2はどう転んでも関数としては0ではない」というのはなぜかなぁ? と思いました。 すみません。思ったより難しいです…。

  • 回答No.2
noname#19296
noname#19296

疑問に思う点同感です。 確かに求まったf(x)は、x≠0についてしか成り立ちません。 そこで、もし求まったf(x)を問題文に代入し、x=0 で成り立たなければ問題が破綻します。 なぜなら前提にf(x)は連続(かつ微分可能)でないと話にならないからです、 f'(x)と書いてある点で、f(x)は微分可能、すなわち連続であることは必要条件です。 ところで求まったf(x)を問題文に代入して、x=0 でも成り立っていることを確かめますか?! 頭がおかしくなりそうです。 明日もう一度考えてみます。

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質問者からのお礼

回答ありがとうございます。もし、新たに思いつかれることがありましたら、教えて下さい。

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