高校レベルの数学で気になることがあります。

質問

x^2f'(x)=60x^4-4bx^3+3cx^2
⇔x^2{f'(x)-60x^2+4bx-3c}=0
として、x=0 のときについても言及しなければ、と思ったのですが、解答では普通に x^2 が消されていました。

わたしは、いままで簡単にこういう場合消してしまっていたので、それによる間違いをよくしました。
ですから、この場合、なんでだろう、と腑に落ちません。
教えていただけますか？

問題は、
2∫(1≦t≦x)t・f(t)dt=x^2f(x)-12x^5+bx^4-cx^3+d で、f(x) が x=1 で極大値20を持ち、x=2 で極小値を持つように、定数 b,c,d の値を求めよ、
というものです。

∫(1≦t≦x)t・f(t)dt の部分は、t・f(t) を1から x まで積分するというつもりで書きました。

ちなみに、x=o を問題文の式に入れてみると、d が定数にはなりそうだ、と思ったのですが、それ以上何も書けませんでした。
また、質問したところ以外はわかりました。

お願いします。

回答No.1

kochory · ベストアンサー

ここで出てきている
x^2{f'(x)-60x^2+4bx-3c}=0
という式は、f'(x)が満たすべき条件式として出てきています。
これは、どのようなxの値についても成り立っていなくてはなりません。

ですから、
「どのようなxの値についてこの式が成り立つか」
というのではなく、
「どのようなxの値に対してもこの式が成り立つようにf'(x)を決める」
という見方でこの式は眺めなければいけないのです。
x=0という、特定のxの値についてこの式が成り立つかどうかは
この問題においては何の意味もありません。

お礼

回答ありがとうございます。わかってきた感じがします。いつでも調べればいいんじゃないんですね。
わかる方にとってみれば、簡単なことなのでしょうが、私にとっては、これが数学的思考力？　なの？　という感じです。単に問題をおぼえようとしているだけでは、私にはこういう能力は身につきそうにないです。助かりました。もうちょっと締め切らずに考えてみます。

回答No.6

kabaokaba

>ここの、「x^2はどう転んでも関数としては0ではない」というのはなぜかなぁ？　と思いました。

「関数として0」というのは
ずーーーーーーーーーーっと0の値しかとらないことです
「恒等的に0」，「y=0という関数」．

x^2はそうじゃないですので「割れる」わけです

お礼

ありがとうございました。わかりました。まだ完璧じゃないですが、なんとなくつかめてきましたので、締め切ります。

回答No.5

pyon1956

＞というのは、どういうことなのでしょうか
というのは0+αと0-αを代入してみて、x^2>0なので、式の正負が変わらないからですが。

ただこの場合はそもそも積分範囲が1からｘで、本当に1≦ｘならx=0は範囲外で無関係ですね。

お礼

再びありがとうございます。うれしいです。

回答No.4

pyon1956

まあ簡単に言えば２重解の時は極値にならないことを「明らか」としたからでしょうね。
もっとも高校数学の場合、これは数学II+Bあたりの問題ですから、「明らか」とするのは教科書的には強引ではありますが。
というかどのみち増減表を書くのならX=0の場合も書かないとダメですけど？

お礼

回答ありがとうございます。
＞２重解の時は極値にならない
というのは、どういうことなのでしょうか。f'(x)=a(x-b)^2 などのとき、(b,f(b)) が極値にならない、というのはわかるのですが、この場合ではわかりません…。

回答No.3

kabaokaba

「値として等しい」のと
「関数として等しい」が混同されてるんですよ．

例えば・・・aとbを定数として

f(x)=x^2
g(x)=ax^3+x^2+b

としたときの f(x)=g(x) を考えます

これを方程式（値として等しい）とみると
x^2=ax^3+x^2+b
という方程式を解くことになって
aとbで場合分けして，三種類の解がでてきます

一方，恒等式（関数として等しい）とみると
a=b=0となります．

どっちとみなすかは，文脈に依存します．
今回の問題の場合は
明らかに関数として等しい方です

x^2{f'(x)-60x^2+4bx-3c}=0

という場合は，
x^2はどう転んでも関数としては0ではないです．
ですんで，x^2で割って(0ではないから割れる)
f'(x)-60x^2+4bx-3c=0
です．

ちなみに，#1さんがおっしゃるように
x=0で云々という議論を
この段階で行うのは無意味です．

けど，この手の問題の場合
求めたf(x)は必要条件でしかないので
解の吟味は必須です．
微分した段階で必要条件となっている点に注意です．
意地悪な問題だと，複数の解がでてきて
そのうちの一個だけが解とかってのは
十分ありえます．
そして解の吟味をして確かめた段階で
あやふやな``x=0''で成立するかも
すっきりするでしょう

---------------
上で書いた「関数として0でないから割れる」とか
そういう議論は大学で数学でもやれば
習う体論とか環論といった代数の考え方です
この考え方がしっくりこない場合は

すべてのxについて
x^2{f'(x)-60x^2+4bx-3c}=0
が成り立つのであればxが0でないと仮定しても
成立する．
したがって，xが0ではないと仮定して
f'(x)-60x^2+4bx-3c
よりf(x)を求める
このf(x)は必要条件だから
あとで十分性を確認する
ということでも問題ないです

お礼

回答ありがとうございます。

＞x^2{f'(x)-60x^2+4bx-3c}=0
＞
＞という場合は，
＞x^2はどう転んでも関数としては0ではないです．

ここの、「x^2はどう転んでも関数としては0ではない」というのはなぜかなぁ？　と思いました。

すみません。思ったより難しいです…。

回答No.2

noname#19296

疑問に思う点同感です。
確かに求まったf(x)は、x≠0についてしか成り立ちません。
そこで、もし求まったf(x)を問題文に代入し、x＝0 で成り立たなければ問題が破綻します。
なぜなら前提にf(x)は連続(かつ微分可能)でないと話にならないからです、
f'(x)と書いてある点で、f(x)は微分可能、すなわち連続であることは必要条件です。
ところで求まったf(x)を問題文に代入して、x＝0 でも成り立っていることを確かめますか？！
頭がおかしくなりそうです。
明日もう一度考えてみます。

お礼

回答ありがとうございます。もし、新たに思いつかれることがありましたら、教えて下さい。