二次方程式の解と係数の大小（難問？）長文です。。。

質問

解答解説を読みましたが、まったく理解できません。こんなことは初めてです。数学の得意な人には簡単なものかもしれませんが。問題文と解答解説を書きますので、どなたか教えてください。どうか、宜しくお願い致します。
（問題）
2(x-b)(x-c)-(x-a)^2=0
a<b<cのとき上の二次方程式が2つの実数解を持つことを示せ。また、その解をα,βとするとき、α,βと定数a,b,cの大小関係を示せ。
（解答の方針）
グラフを利用する。また、左辺をf(x)として、f(a),f(b),f(c)の符号を調べる。(まず、ここからなぜこのようにするのか分かりません。。。)
（解答）
f(x)=2(x-b)(x-c)-(x-a)^2とおくと、a<b<cより
f(a)=2(a-b)(a-c)>0　　　　　←この三つの式が成り立つこと自体は
f(b)=-(b-a)^2<0 　　分かりますが、解答の方針が分からな
f(c)=-(c-a)^2<0　　　　　　　 いので・・・・

f(x)の二次の係数は1で、y=f(x)のグラフは下に凸の放物線であるから、cより大きい値でf(d)＞0となるものが存在する。
（ここも分かりません。特になぜf(d)＞0となるものが存在するかが分かりません）

よってy=f(x)のグラフはa<x<b , c<x<dでx軸と交わるから方程式
f(x)=0は二つの解α,βを持ち、α<βとすると、グラフより
a<α<b<c<β

一応、応用の中の補充事項のようなところに載っていたものですが、ある程度の国立に行くならこれぐらいは解けてあたりまえでしょうか。

回答No.2

debut · ベストアンサー

２次関数と見れば、x^2の係数は１で下に凸の放物線になるのだから、
f(x)のxに何かを代入して正になるときと負になるときがあるなら、
（このことは、放物線が１度ｘ軸を横切っていることを意味するので）
その放物線はｘ軸と２点で交わる、つまり、その２次方程式が二つの解
をもつということがいえます。

例えば、解がx=-2,x=1である２次方程式x^2+x-2=0 を２次関数とみて、
f(x)=x^2+x-2 で試してみると、f(0)=-2<0、f(2)=4>0 となるので、この
方物線は、x=0とx=2の間でｘ軸を横切っている、つまりその間に解が１つ
あるということになる。（実際、解x=1がある）

この問題では、f(a)>0,f(b)<0,f(c)<0 だから、x=aとx=bの間で放物線は
ｘ軸を横切っている、つまりその間に１つの解を持つということ。
そしてさらに、下へ向かった放物線はどこかで上に戻ってきて再びｘ軸を
横切りますよね。それをいうために、cより大きくf(x)の値を正にするxの
値dを導入して　ｘ軸を横切る　ことを説明しているのです。

＞ある程度の国立に行くならこれぐらいは解けてあたりまえでしょうか。
　　なかなか気づかないんじゃないでしょうか。実数解を持つことといわ
　　れれば、どうしても展開して判別式の方にいっちゃう気がします。

回答No.5

kony0

「f(x)が連続で、かつf(a)*f(b)<0であれば、方程式f(x)=0は区間(a,b)に少なくとも１つの解を持つ」という定石があります。微積とかやって、中間値の定理とか聞いたら、驚くほどあっさり理解できるのかも。

文字式で書くとちとごついですが、皆さんの言うとおりグラフでイメージを膨らませば、納得できた人には理解できるもんだと思います。
f(a)という、抽象的な書き方のものを理解するのは、なかなかセンスがいるでしょうが、理解できたらしめたものです。^^

ちなみに、この定石を、さらに２次関数の場合に噛み砕かれた記述をされたのが、#2さんの3段落目になると思います。

回答No.4

postro

＞一応、応用の中の補充事項のようなところに載っていたものですが、ある程度の国立に行くならこれぐらいは解けてあたりまえでしょうか。
この問題に対する解説はすでに出揃っているので、↑これについてですが、
初めてこの問題に接して、すらすら解けないからといって悲観する必要はないと思います。むしろ重要なのは、この解説を読んで「ああ、なるほど、そりゃそうだ」と納得できるかどうかです。納得、理解できれば大丈夫です。素質があると自信を持ってください。

回答No.3

yuki0012

f(a)>0,f(b)<0,f(c)<0,で、cより右でfは増加していってそのうちにあるdでf(d)>0になるんですね。

回答No.1

age_momo

全て記号で考えるということで難しくなっているかもしれませんが
実は非常に簡単な事を言っています。グラフで考えると当然と言うことが分かると思います。

まず、下に凸で2解を持つグラフを書いてみてください。
簡単にy=x^2-1でいいです。解は-1,1ですね。
このグラフはx<-1の範囲は正ですし、-1<x<1で負になり、
x>1で正になります。
どんな2次方程式でも下に凸なら2解α、βの値に関係なく、
x<α　および　x>βで
f(x)>0
ですし
α<x<β　で
f(x)<0
です。

だからx=a,b,cの正負を調べることでα、βとの大小関係が分かります。
f(a)>0,f(b)<0,f(c)<0ということはb、cはαとβの間の数字である
はずです。f(a)>0ですからaとbの間にαが無ければならないことが
グラフで分かりませんでしょうか？
また、下に凸の2次方程式は解βより大きい範囲で正でなければなりません。
だからd>cでf(d)>0となるdが存在します。