凸関数は連続的微分可能？

質問

私は専攻が物理な門外漢なので、表現に不備がありまくりだと思うのですが、何とかよろしくお願い致します。

上に凸の関数が
　f(λa+(1-λ)b) ≧ λf(a) + (a-λ)f(b)　　a,b は任意の実数　λは 0<λ<1 を満たす任意の実数
と定義されているとすると、折れ曲がった部分を持つ関数（例えば、傾き２と傾き１の直線が連続に繋がってる点があるような。つまりそこでは微分不可）も上に凸の関数と言えます。
しかし、
　上に凸の関数は、それが定義されている区間の上で連続的微分可能
という定理があるらしいのですが、連続的微分可能ということは、その区間の任意の点で微分可能ということが前提されているのではないでしょうか？しかし、それだと微分不可の点があってもいいという上の主張と矛盾してしまいます。
連続的微分可能は次のような定義で書いてあります。
　ある領域で、すべての１階の偏導関数が存在して、それらがすべて連続である関数
１階導関数が存在して、それが連続であるためには、すべての点で微分可能でないとダメだと思うのですが、その辺に間違いがあるのでしょうか…？

どうぞよろしくお願い致します。

回答No.1

noname#101087 · ベストアンサー

>　上に凸の関数は、それが定義されている区間の上で連続的微分可能
>という定理 .....

「連続、かつ高々可算個の点を除いて微分可能」だったような。

補足

ご指摘ありがとうございます。
仰る通り、「高々可算個の点を除いた集合の上で連続的微分可能」と書いてありました。
（連続ということは私の参照している本には書かれていないようですが）

指摘して頂いて改めて考えてみると、上の文章は
「（元々の集合ではなく、）高々可算個の点を除いた集合（にしてはじめて、そ）の上で連続的微分可能」
という意味なのでしょうか？私は
「（元々の集合はもちろん、）高々可算個の点を除いた集合の上で（あっても）連続的微分可能」
という意味だと解釈してしまい、質問の上で省略してしまったのですが。。。

確かに前者だとすると、微分不可の点を除いた部分しか考えないで済みますね。
しかし、質問文で書かせて頂いた折れ曲がった関数の導関数は、１と２の間でジャンプする部分をもつ関数になってしまい、連続ではなくなってしまうのではないでしょうか？

一歩進めたような気が致しますが、引き続きよろしくお願い致します。

回答No.2

noname#101087

>折れ曲がった関数の導関数は、１と２の間でジャンプする部分をもつ関数になってしまい、連続ではなくなってしまうのではないでしょうか？

確かに「導関数」はそうなりますね。
もとの定理の正確な記述が手もとにないのでうろおぼえですが、導関数の連続性には言及してなかったと思います。

ネット上でみつけた定理を一つだけ。
　　　　　　　　　↓
定理3.6.2　区間φ(t) がI で凸関数ならば、I の内部の点t で、右微分可能、かつ左微分可能であり、
　　φ'-(t) ≦ φ'+(t)
である。とくにI の内部で連続である。
>　http://matha.e-one.uec.ac.jp/~naito/06inkogi.pdf
>　p.71, 定理3.6.2

こちらのほうが、直感的に納得でき易いのかも。
「折れ曲がった凸関数」は、連続、右/左微分可能という、例えば φ(x) = |x| みたいなイメージ。

お礼

ご回答ありがとうございます。

よく考えてみると、補足に書かせて頂いたことはまったくおかしいですね。
折れ曲がる部分以外の集合で連続であると言っているので、何もおかしい点はないんですね…。
もう少し慎重に考えるべきでした(^^;

どうもありがとうございました。
また機会があればよろしくお願い致します。