2回連続微分可能な関数についての問題
- 閉区間［a、b］を含むある開区間上で定義された実数値関数f（x）が二回連続微分可能で、任意の点x∈［a、b］において、f''（x）≧0とする。任意のc∈［a、b］に対して、不等式（b-c）f（a）+（c-a）f（b）≧（b-a）f（c）が成立することを証明せよ。
- 不等式（b-c）f（a）+（c-a）f（b）≧（b-a）f（c）で真に不等号>が成立する場合について考える。
- 問題において、f''（x）≧0であることから、f'（x）が単調増加であることがわかる。また、点aにおけるf（x）の接線の傾きより点bにおける接線の傾きの方が大きいか同じであることがわかる。ただし、問題中の直線acと直線cbは接線ではないため、この判断には注意が必要である。不等式（b-c）f（a）+（c-a）f（b）≧（b-a）f（c）の真に不等号>が成立する場合は、f'（x）が狭義単調増加の場合である。
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二回連続微分可能な関数
閉区間［a、b］を含むある開区間上で定義された実数値関数f（x）が二回連続微 分可能で、任意の点x∈［a、b］において、f''（x）≧0とする。このとき、次の 問に答えよ。 （1）任意のc∈［a、b］に対して、次の不等式が成立することを証明せよ。 （b-c）f（a）+（c-a）f（b）≧（b-a）f（c） （2）（1）の不等式で、真に不等号>が成立するのはどんな場合か。 （1）について。この不等式は、直線acの傾きより直線cbの傾きの方が大きいとい うことがわかれば導けますね。しかし、わかっている情報は f''（x）≧0である⇔f'（x）が単調増加→点aにおけるf（x）の接線の傾きより、 点bにおける接線の傾きの方が大きい、あるいは同じ、ということです。直線acと 直線cbは接線ではないけれど、このような判断を下せる根拠はどこにありますか ？ （2）について。 『f'（x）が狭義単調増加のとき』でいいのでしょうか？それとも、この問題はも っと高度なことを聞いているのでしょうか？
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>(1）について。この不等式は、直線acの傾きより直線cbの傾きの方が大きいということがわかれば導けます この二つの傾きを比較するには平均値の定理を使用すればよい。 f'(d)={f(c)-f(a)}/(c-a) となるdが(a,c)内に必ず存在します。 同様にf'(e)={f(b)-f(c)}/(b-c)となるeが(c,b)内に必ず存在します。 f'(d)とf'(e)の比較は言うまでも無いでしょう。
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