- ベストアンサー
行列Mの最小多項式pの存在証明
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
n×n 実行列 M に対して， I, M, M^2, ..., M^m を考えます． n×n 行列を n^2 次元ベクトルと見れば，n^2 次元線型空間に 線型独立なベクトルは高々 n^2 本しか存在しません． 従って，この行列たちは十分大きな m に対して線型従属です． この行列たちが線型従属となる最小の m を取ります． このとき，ある実数 a_0, ..., a_m が存在して a_0 I + a_1 M + ... + a_m M^m = 0 が成立します．m の最小性から a_m ≠ 0 が成立するため， p(X) = a_0/a_m + a_1/a_m X + ... + X^m は p(M) = 0 を満たします．m の最小性から，これよりも 小さな次数の多項式で q(M) = 0 なるものは存在しません． よって，p が M の最小多項式です．
その他の回答 (1)
#1さんのようにやらないと、点数がもらえないような気はします。また、ケーリー・ハミルトンの定理への途上なのかもしれないとは思いましたが、周辺情報として言えば、ケーリー・ハミルトンから、最小多項式の存在は自明になると思えます。 ｎ次正方行列の特性多項式を、φ(λ)（ｎ次のスカラー多項式）とした場合、スカラーλを形式的にＡでおきかえた行列多項式、φ(Ａ)については常に、 φ(Ａ)＝0（行列として0） となるので、m_A(x)の存在は、ｎ次以下で保証されます。
お礼
有難うございます。意味が分かってきました。 I,M,M^2,…、夫々をn^2×1の行列(縦ベクトル)と見立てると確かにn^2+1以上で一次 独立では出来ませんね。必然的に一次従属となってしまいますね。 それで最小多項式なるものが存在するのですね。 理解できました。
関連するQ&A
- 最小多項式
ＧＦ（２＾４）の原始元αの最小多項式m1(x)=x^4+x+1とする。 m1(α)＝０から、ＧＦ（２＾４）の元をαのべき表現で表示できました。 ここで、すべての元において最小多項式を求めたいのですが。 講義ノートによると「最小多項式とは、その元を根とする次数最小の多項式」と書いてありました。 そうならば、α＾３の最小多項式は（ｘ－α＾３）のはず、しかし、 ここで、α＾６とα＾１２を導入し、α＾３の最小多項式が ｍ3（ｘ）＝（ｘ－α＾３）（ｘ－α＾６）（ｘ－α＾１２） となるらしいです。また、一般的にＡをｆ（ｘ）＝０の根とすると、Ａ＾｛２*i｝もまた、ｆ（ｘ）＝０の根であることは知っているのですが、 なぜ最高次数を３にする必要があったのでしょうか？ 最高次数が３以外じゃだめなんですか。例えば（ｘ－α＾３）（ｘ－α＾６）のように。 また、数の候補としてはα＾３、α＾６、α＾１２だけでなく、α＾１８、α＾２４、、、、、、、 膨大に候補があがると思います。α＾３の最小多項式を考えていますが、 ほぼ無限に候補があがるため、これで、すべての元をあらわしてしまいそうなんですが… こうなると、もはやα＾３のペアとして、α＾６とα＾１２のみならず、 どんな元でもよいと言うことにならないのでしょうか？ もし、ならないのであれば任意の元をかんがえて最小多項式を作ろうとしても、 このような事態は起きないのか？ わからないので是非教えてください。お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 正方行列の最小多項式の求め方は?
4×4正方行列A 1/2,-1/2,1,1 1/2,-1/2,-1,-1 0,0,3/2,-3/2 0,0,3/2,-3/2 と 正方行列B 0,1,0,0 0,0,2,0 0,0,0,3 0,0,0,0 のそれぞれの最小多項式を求めたく思ってます。 求め方はA-xE,B-xEに基本行列変形を施して対角行列を求めて4行4列成分に現れた多項式がAの最小多項式になるのかと思います。 A ↓ 1/2-x,-1/2,1,1 1/2,-1/2-x,-1,-1 0,0,3/2-x,-3/2 0,0,3/2,-3/2-x ↓ 1/2,-1/2-x,-1,-1 1/2-x,-1/2,1,1 0,0,3/2-x,-3/2 0,0,3/2,-3/2-x ↓ 1/2,-1/2-x,-1,-1 0,-2x^2,2-2x,2-2x 0,0,3/2-x,-3/2 0,0,3/2,-3/2-x ↓ 1/2,0,-1,-1 0,-2x^2,2-2x,2-2x 0,0,3/2-x,-3/2 0,0,3/2,-3/2-x ↓ 1,0,0,-1 0,-2x^2,2-2x,2-2x 0,0,3/2-x,-3/2 0,0,3/2,-3/2-x ↓ 1,0,0,0 0,-2x^2,2-2x,2-2x 0,0,3/2-x,-3/2 0,0,3/2,-3/2-x と基本行列変形してみたのですがここから先の基本行列変形は分母にxが現れてしまい,どう進めていいのか困ってます。 そしてBについては B ↓ -x,1,0,0 0,-x,2,0 0,0,-x,3 0,0,0,-x ↓ 1,-x,0,0 -x,0,2,0 0,0,-x,3 0,0,0,-x ↓ 1,0,0,0 -x,-x^2,2,0 0,0,-x,3 0,0,0,-x ↓ 1,0,0,0 0,-x^2,2,0 0,0,-x,3 0,0,0,-x とやはりここから先に進めません。 どのようにして求めたらいいのでしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 最小多項式について。
最小多項式に関する質問なのですが。。。 今、aの最小多項式がf(x)だとしたら、"aの逆数"の最小多項式をf(x)で表すためには、どのように考えればいいのでしょう？？ 本を読んでも、「明らか」とうい風にしか書いておらず、理解に苦しんでいます(^^; どなたかお願いします☆☆
- ベストアンサー
- 数学・算数
- x^m (mはm≦-1を満たす整数)を含む関数f(x)は多項式でない理由について
インターネット等で調べてみたのですが見当たらないので質問です。 『x^m(mはm≦-1を満たす整数)を含む関数f(x)は多項式でない理由』とこういった項を含む式の『○○式』等といった呼び方（あれば）を教えてください。 また某pediaを参照すると『f(x)=0という多項式f(x)の次数を-∞と定義する。』とあったのですが、次数が+∞の多項式は存在するのでしょうか？ f(x)=sinxはｘで微分しても、第ｎ次導関数において次数が0にならないためsinxは多項式ではない。と説明しているページも見かけたので正直混乱しています。どなたか教えてください。
- ベストアンサー
- 高校
- Aを(l,m)型行列、Bを(m,n)型行列にする
Aを(l,m)型行列、Bを(m,n)型行列にする （1）ABが正方行列になるとき、積BAも定義され、正方行列になることを示せ （2）ABとBAがともに同じ次数の正方行列となる条件を求めよ この問題をできる人！ 良い解答解説をお待ちしています
- 締切済み
- 数学・算数
- 正定値行列の最大・最小
正定値行列の最大・最小 行列の問題で以下の問題が分からないので、分かる方はヒントをいただければと思います。 一応画像を張っておきますが（張れてないかも・・・）見えにくい（見えない）場合は、下に同じ表現の文章を書いていますので下の文章を見てください。 Ａをp次対称行列,ｂをp次元ベクトルとす。このときfを ｆ(ｘ1,ｘ2,・・・,ｘp) = ｘ^tＡｘ + （ｂ,ｘ） (-∞<ｘi<+∞) と、定義する。 (1)Aが正定値行列であるとき、fの最大値、最小値を求めよ。 (2)Aが非不正定値行列でｂがＭ（Ａ）の元でないとき、ｆの最大・最小を求めよ。ただしＭ（Ａ）は行列Ａの縦ベクトルが張る線形部分空間を表す。 初めのｆの定義でのｘ＾tはｘの転置行列、（ｂ、ｘ）はｂとｘの内積を表しています。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
有難うございます。意味が分かってきました。 I,M,M^2,…、夫々をn^2×1の行列(縦ベクトル)と見立てると確かにn^2+1以上で一次 独立では出来ませんね。必然的に一次従属となってしまいますね。 それで最小多項式なるものが存在するのですね。 理解できました。