正定値行列の最大・最小

質問

正定値行列の最大・最小

行列の問題で以下の問題が分からないので、分かる方はヒントをいただければと思います。
一応画像を張っておきますが（張れてないかも・・・）見えにくい（見えない）場合は、下に同じ表現の文章を書いていますので下の文章を見てください。

Ａをp次対称行列,ｂをp次元ベクトルとす。このときfを
ｆ(ｘ1,ｘ2,・・・,ｘp) = ｘ^tＡｘ + （ｂ,ｘ） (-∞<ｘi<+∞)
と、定義する。

(1)Aが正定値行列であるとき、fの最大値、最小値を求めよ。

(2)Aが非不正定値行列でｂがＭ（Ａ）の元でないとき、ｆの最大・最小を求めよ。ただしＭ（Ａ）は行列Ａの縦ベクトルが張る線形部分空間を表す。

初めのｆの定義でのｘ＾tはｘの転置行列、（ｂ、ｘ）はｂとｘの内積を表しています。
よろしくお願いします。

回答No.1

Anti-Giants · ベストアンサー

(2)の非負正定値行列は、非負定値行列ですね。

Aは直交行列Qで対角化できる（要証明）。
x=Qz.
W=Q^TAQ.
一般に(Q^Ta,b)=(a,Qb).
x^TAx+(b,x)=z^TWz+(Q^Tb,z).

Aを2×2または3×3行列として、具体的な場合をもとに計算すると分かりやすいと思います。

お礼

x^TAxの方はなんとか処理できていたのですが、内積の方を一緒に処理できずに困っていました。ヒントありがとうございました。とても分かりやすかったです。引き続き解答を進めていきたいと思います。