最大値・最小値を求める問題

質問

実ベクトルx=(x1,x2),y=(y1,y2)に対して
ノルム||x|| = √<x,x>, 内積<x,y>=x1y1+x2y2と定義する。
また実行列A,BをA=(a1,a2) a1=t_(√2,0),a2=t_(0,2),B=(b1,b2),b1=t_(1,2√2),b2=(2√2,3)とする。(tは転置を意味しています)
今||x||=1とする。この時以下を証明せよ。
(1)f(x)=<Ax,Ax>とすると、2≦f(x)≦4
(2)g(x)=<x,Bx>とすると、-1≦g(x)≦5
(3)h(x)=<Ax,BAx>とすると、-4≦h(x)≦20

(1)(2)は解けたのですが(3)がわかりません。
h(x)=2x1^2+16x1x2+12x2^2となったので、
x1=cosθ,x2=sinθと置き換えて計算すると、
2x^2+16xy+12y^2
=2+16sinθcosθ+10sin^2θ
=2+8sin2θ+5(1-cos2θ)
=7+8sin2θ-5cos2θ
ここで三角関数の合成をしても√89という値が出るため、
最小値は明らかに整数にならないのです。
(2)はこの方法で上手く最大値、最小値が求まったのですが…
どのように解決すればいいのか教えてください。

回答No.2

info22

> =7+8sin2θ-5cos2θ
=7+√89*sin(2θ-α),tanα=5/8
なので
-3＝7-10＝7-√100＜7-√89≦h(x)≦7+√89＜7+√100＝17
となって
-3＜h(x)＜17…(◆)
従ってこの式が成り立てば
-4≦h(x)≦20…（●）
は成り立ちます（十分条件）。
しかし、（●）であっても（◆）が成り立つとは言えませんね。
-

お礼

ありがとうございました。

h(x)の範囲は十分[-4,20]に入るということですね。

回答No.1

R_Earl

> 最小値は明らかに整数にならないのです。

そもそも最大値・最小値を求める問題でしたか？
-4≦h(x)≦20となることを証明するのですよね？
それなら別に、「h(x)の最小値が-3で、h(x)の最大値が19」でも、
「-4≦h(x)≦20を満たしている」と言えませんか？
√が入っていようと入っていまいと、
「h(x)の最小値が-4以上で、h(x)の最大値が20以下なら-4≦h(x)≦20と言える」はずですが。

試しに計算しましたが、私もh(x) = 7+8sin2θ-5cos2θとなりました。