最小二乗法 行列

質問

現在以下のページを参考に最小二乗法の勉強をしています。
誤差の二乗ノルムを求めるときに、
　|| e || ^2 = e*e
= (y-Ax)*(y-Ax)
= (y*-x*A*)(y-Ax)
= y*y - y*Ax -x*A*y + x*A*Ax　　(1)
この次に
　　　　　　 = y*y - 2y*Ax + x*A*Ax
と変形できるのはなぜなんでしょうか？
(1)の第３項目 x*A*y が第２項目と等しくなる過程が分かりません。
後、次の二乗ノルムを微分する過程も良くわかりません。

すみませんが、よろしくお願いします。

http://www.star.t.u-tokyo.ac.jp/~kaji/leastsquare/leastsquare_main.htm

回答No.2

arrysthmia · ベストアンサー

共役転置行列の定義を確認し、公式
(AB)* = (B*)(A*),
A** = A
を証明してみてください。
これにより、(x*)Ay の共役転置は、
{ (x*)(A*)y }* = (y*)(A**)(x**) = (y*)Ax です。

(x*)Ay は、スカラー（１行１列の行列）ですから
{ (x*)Ay }' = (x*)Ay となりますが、
実数値であれば { (x*)Ay }~ = (x*)Ay なので、
結局、
{ (x*)Ay }* = { (x*)Ay }'~ = { (x*)Ay }~ = (x*)Ay です。

回答No.3

nakakana32

あんまり自信は無いのですが、パラメータがベクトルかスカラかを考慮すると答えが見えてくると思います。

つまり、今　y*Axとx*A*yはスカラ量です。（これは内積（スカラ）a・a＝a*aという関係から導けると思います）

ということは、行列式の決まり（AB≠BA）にとらわれずに単純に大きさとして値を扱えることになります。

この考え方でいくと、y*Ax=xy*Aとおいてよいわけです（y*Aがスカラだから）。ここでx*A*yについて考えると、スカラはx*A*になるのでx*A*y=yx*A*と置けます。この式は計算すれば分かると思うのですがy*Axと同じ値になります（結局スカラなので最終的に1×1行列になるため）。

よってy*Axとx*A*yを同じ値と扱って良いのだと思います。

回答No.1

Gab_km

>この次に
>　　　　　　 = y*y - 2y*Ax + x*A*Ax
>と変形できるのはなぜなんでしょうか？

質問欄のサイトの説明を読んでみました。
『*は複素共役転置を表し，実数であれば転置です．』との記述があったので、ここに気をつけて定義どおりに式変形をしてみましょう。

二乗ノルムを微分したのは、私が引用した文の次の行を読んでみると、意図が分かるかもしれません。